He aquí un argumento general.
Puesto que es capaz de demostrar que un espacio normado $X$ no es completa, asumo que llegaste a un punto donde encontraste una secuencia de Cauchy $(x_n)$ que no converge, ¿correcto?
Desde $(x_n)$ es Cauchy, hallar $n_1\in\mathbb{N}$ tal que si $n,m\ge n_1$ entonces $\|x_n-x_m\|<\frac{1}{2}$ . Entonces, encuentra $n_2>n_1$ tal que si $n,m\ge n_2$ entonces $\|x_n-x_m\|<\frac{1}{2^2}$ . Continuando este proceso, obtenemos índices $n_1<n_2<\dots$ tal que $\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|<\frac{1}{2^k}$ para todos $k\in\mathbb{N}$ .
Establecer $y_{k}=x_{n_{k+1}}-x_{n_k}$ para todos $k\ge1$ . Entonces, $$\sum_k\|y_k\|\le\sum_k\frac{1}{2^k}<\infty$$ Por otra parte, las sumas parciales son $s_K=\sum_{k=1}^Ky_k=x_{n_{K+1}}-x_{n_1}$ por lo que, si la serie $\sum_ky_k$ converge, entonces la secuencia $\{x_{n_k}-x_{n_1}\}_{k=1}^\infty$ converge y, por tanto, la secuencia $\{x_{n_k}\}$ converge. Pero una sucesión de Cauchy que tiene una subsecuencia convergente es también convergente al límite de la subsecuencia. Esto no puede ser, ya que sabemos que $(x_n)$ no converge.
Se puede llegar a esto mirando la prueba estándar del hecho de que la completitud es equivalente a la implicación de la convergencia en serie por la convergencia absoluta.
