Sea $A$ un anillo noetheriano normal. ¿Será el conjunto singular de $A$, es decir, $\{\mathcal{p}\in Spec(A)|A_{\mathcal{p}}\ \text{no es un anillo regular}\}$, cerrado en $Spec(A)$? En caso afirmativo, ¿cuál será el ideal que lo define y qué se puede decir sobre la altura de ese ideal?
¡Gracias de antemano!
Creo que vale la pena señalar que el locus singular no siempre está cerrado, incluso para dominios normales:
Teorema [Abhyankar y Heinzer 1988, Thm. 6.3]. Existe un dominio noetheriano normal de dos dimensiones, cuyas localizaciones en ideales primos son excelentes, pero cuyo locus singular no está cerrado.
También hay ejemplos locales. Nishimura atribuye lo siguiente a Brodmann y Rotthaus.
Teorema [Nishimura 2012, Ex. 2.11]. Existe un dominio local noetheriano normal de tres dimensiones, que es una intersección completa y universalmente japonés, pero cuyo locus singular no está cerrado.
La condición de que el locus singular esté cerrado se llama J-1. Las álgebras afines sobre un campo son excelentes, por lo tanto, J-1 (prácticamente por definición), por lo que no hay conflicto entre estos ejemplos y el comentario de Mohan.
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Esto es ciertamente verdad para álgebras afines sobre un campo, sin siquiera la hipótesis de normalidad. Si asumes normalidad, entonces la altura del ideal que define el locus singular es al menos dos, lo cual es lo mejor que puedes decir en general.
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@Mohan: ¡Gracias! ¿Podrías por favor dar una pista sobre la prueba?
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Básicamente sigue el criterio jacobiano de no singularidad.
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@Mohan: Sí, gracias, entiendo. Pero no quiero tomar el álgebra k finitamente generada, sino ¿puede haber alguna condición en un anillo noetheriano que podamos imponer para que el lugar singular esté cerrado?
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@Mohan ¿hay alguna prueba simple? Solo sé que hay una prueba en Hartshorne. Pero no entiendo. Gracias.
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@Sky No conozco una prueba más sencilla.