obstrucción al levantamiento de esquemas suaves

Question

Según la teoría general, para un engrosamiento cero cuadrado definido por un ideal I: SpecA -> SpecA', existe una obstrucción de elevación de un esquema suave X sobre A a un esquema suave sobre A' que vive en H^2(X,T_X \otimes I).

¿Alguien puede dar un ejemplo de obstrucción? Por ejemplo, ¿un esquema suave sobre F_p que no se eleve suavemente a Z/(p^2)?

Answer 1

Documento de Ravi Vakil Ley de Murphy en geometría algebraica da muchas referencias de este tipo de cosas: véase la sección 2 de

http://arxiv.org/abs/math/0411469

El primer ejemplo se debe a Serre:

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Serre, Jean-Pierre Ejemplos de variedades proyectivas en característica $p$ no legible en característica cero . (francés) Proc. Ac. Acad. Sci. U.S.A. 47 1961 108--109.

Aquí está el MathReview por I. Barsotti:

Un ejemplo de variedad proyectiva no singular $X_0$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica $p$ que no es la imagen, $\text{mod}\,p$ de cualquier variedad $X$ sobre un anillo local completo de característica 0 con $k$ como campo de residuos. La variedad $X_0$ se obtiene seleccionando, en un espacio proyectivo de 5 dimensiones $S$ y para $p>5$ una variedad no singular $Y_0$ que no tiene punto fijo para un subgrupo abeliano finito $G$ con al menos 5 generadores de periodo $p$ del grupo $\Pi(k)$ de transformaciones proyectivas de $S$ pero que se transforma en sí mismo mediante $G$ Entonces $X_0=Y_0/G$ . La razón de la imposibilidad es que $\Pi(K)$ para un $K$ de característica 0, no contiene un subgrupo isomorfo a $G$ . {Impresión tipográfica: en la última línea de la p. 108 debe decir $s(\sigma)=\exp(h(\sigma)N)$ .}

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ADDENDUM :

Después de revisar la pregunta, mi referencia al artículo de Serre es inapropiada: se trata de un ejemplo de una variedad que no se eleva a la característica cero mientras que el cartel pedía uno que no se elevara (ni siquiera) a $\mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z}$ . Sigue siendo cierto que este tipo de cosas se discuten en el artículo de Vakil, pero ahora la fuente primaria canónica parece ser

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Deligne, Pierre; Illusie, Luc
Relèvements modulo $p^2$ y descomposición del complejo de Rham . (francés) [Elevaciones modulo $p^2$ y descomposición del complejo de Rham]. Invent. Math. 89 (1987), nº 2, 247--270.

MathReview por Thomas Zink:

La degeneración de la secuencia espectral de Hodge $H^q(X,\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^n_{\text{DR}}(X/k)$ para una variedad algebraica lisa y proyectiva sobre un campo de característica cero es un hecho básico en geometría algebraica. Sin embargo, sólo recientemente se ha encontrado una prueba algebraica en relación con la comparación de la cohomología étale y cristalina (Faltings, Fontaine, Messing).

En este bello trabajo los autores dan una prueba algebraica breve y elemental para la degeneración por métodos en característica $p>0$ .

Sea $k$ sea un campo perfecto de característica $p>0$ y que $X$ sea una variedad suave sobre $k$ que se eleva al anillo de Witt $W_2(k)$ . Denotemos por $X'$ la variedad obtenida por cambio de base mediante el automorfismo de Frobenius, y sea $F:X\to X'$ sea el morfismo relativo de Frobenius . Más concretamente, estas escisiones corresponden a elevaciones de $X'$ a $W_2(k)$ . Este teorema implica la degeneración de la secuencia espectral de Hodge para $X$ en dimensión $<p$ y, por Raynaud, un teorema de fuga de Kodaira para $X$ . Los hechos correspondientes en la característica cero pueden deducirse mediante el proceso de reducción habitual.

Los autores demuestran que su argumento se extiende al caso en que $k$ se sustituye por una base arbitraria $S$ de característica $p$ y $\Omega^\cdot_{X/S}$ se sustituye por diferenciales con polos logarítmicos.

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