Una pregunta sobre el teorema de Gauss Bonnet

Question

Si $S$ es una superficie que es el complemento de un número finito de puntos de una superficie compacta, y la métrica en $S$ es completa, entonces el teorema de Gauss-Bonnet sigue siendo válido para $S$ ?

Answer 1

No.

Toma la esfera $S^2$ y eliminar un punto, dándole una superficie $S$ difeomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Así podemos equipar $S$ con una métrica que la hace isométrica a $\mathbb{R}^2$ que sin duda es completa. $\mathbb{R}^2$ tiene curvatura cero pero su característica de Euler es $1$ Así que $$0 = \int_{\mathbb{R}^2} K dVol \ne \chi(\mathbb{R}^2) = 1.$$

Answer 2

Algo así.

http://www.ams.org/proc/1982-086-01/S0002-9939-1982-0663893-8/S0002-9939-1982-0663893-8.pdf

Answer 3

No.

Si se elimina un conjunto finito de puntos de una superficie compacta, ésta dejará de ser completa. Si cambias la métrica de modo que tengas una superficie completa, no podrás aplicar el teorema de Gauss Bonnet de todos modos, porque la superficie no es compacta.