¿Puede un operador autoadjunto tener un conjunto continuo de valores propios?

Question

Esto debería ser una cuestión trivial para los matemáticos, pero no para los físicos típicos.

Sé que el espectro de un operador lineal en un espacio de Banach se divide en las denominadas partes "puntual", "continua" y "residual" [deduzco que no es necesaria ninguna hipótesis de acotación, pero podría equivocarme]. Además, sé que el espectro puntual coincide con el conjunto de valores propios del operador. Parece, por la terminología, que el espectro puntual es un conjunto discreto de puntos aislados y que los valores propios no pueden formar un continuo. Pero no he sido capaz de encontrar una declaración clara en una referencia matemática sobre esto.

En realidad, me interesan sobre todo los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert; así que una versión más sencilla de mi pregunta sería: ¿Puede un operador autoadjunto tener un conjunto continuo de valores propios? Y en caso afirmativo, ¿bajo qué condiciones tienen que ser discretos los valores propios?

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Los vectores propios de distintos valores propios de un operador autoadjunto son ortogonales. En un espacio de Hilbert separable, cualquier conjunto ortogonal es contable. Por tanto, un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable sólo tiene un número contable de valores propios. (Como se ha señalado, esto no significa que el espectro sea contable).

Answer 2

Confunde dos conceptos. En primer lugar, el espectro puntual sólo significa valores propios; no se supone que éstos formen un conjunto discreto. El operador de desplazamiento es un ejemplo sencillo en el que el espectro es "continuo".

La condición para que los valores propios sean discretos es precisamente que el operador $A:H \to H$ es compacto . Sin embargo, es posible que los operadores autoadjuntos no compactos tengan un espectro discreto. El ejemplo más sencillo es el operador de proyección ortogonal $P:H \to Y$ donde $Y$ es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert $H$ . Aquí el espectro es $0$ y $1$ .

Los operadores autoadjuntos limitados no tienen espectro residual pero sí tienen un espectro continuo. Tomemos cualquier operador compacto $A:H \to H$ donde dim $H=+\infty$ . Entonces $0$ pertenece al espectro continuo porque de lo contrario $A:H \to H$ sería invertible, lo que implica que dim $H <\infty$ . Continuo = "existe un conjunto de vectores propios aproximados".

Si desea una gama continua de espectro tome $Af = x f(x)$ en $L^2([0,1])$ . Entonces el rango del espectro es $[0,1]$ . No hay valores propios para este operador y además el espectro residual está vacío para el operador autoadjunto, $[0,1]$ es el espectro y es equivalente al espectro continuo.

Así que un punto final, continua sólo significa que $R(A-\lambda I)$ es no denso pero que $\lambda$ es no es un valor propio . No tiene nada que ver con que el espectro real sea discreto o continuo.

Así que creo que estabas mezclando dos nociones, pero espero haber proporcionado ejemplos para ambas.

Answer 3

Una versión del teorema espectral afirma que si $A$ es un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable $H$ entonces podemos encontrar un conjunto $X$ , a $\sigma$ -medida finita en $X$ un operador unitario $U:H\to L^2(X)$ y una función medible $a:X\to \mathbb{R}$ tal que $A=U^*aU$ . En otras palabras, cualquier operador autoadjunto, en esencia, no es más que la "multiplicación por una función de valor real", en "coordenadas" adecuadas. El espectro de $A$ coincide con el rango esencial de la función $a$ .

Ahora, un valor propio debe ser un número real $\lambda$ tal que el conjunto $a^{-1}(\lambda)$ tiene una medida positiva. Dado que $X$ es $\sigma$ -finito, los valores propios pueden ser a lo sumo un conjunto contable. Pero se puede tener un espectro continuo, por supuesto, sólo que los puntos no serán valores propios. Se puede jugar con funciones de valor real (y con medidas sobre $X$ cualquier $\sigma$ -medida finita está bien) para entrenar la intuición.

Answer 4

Añado esta observación porque puede ser parte de lo que quiere el OP. Tenga en cuenta que, en cuanto a la espectro de un operador lineal limitado autoadjunto en $\ell^2$ por supuesto, puede ser cualquier conjunto compacto $K$ de $\mathbb{R}$ . Basta con tomar un operador diagonal cuyo conjunto de elementos diagonales (valores propios) sea denso en $K$ .

Answer 5

Recordemos que el espectro de un operador $A$ en un espacio de Hilbert es el conjunto de vales $\lambda$ tal que $A-\lambda I$ no tiene inversa acotada . Por tanto, si $A$ es la multiplicación por una función en $L^2$ de un espacio de medidas, entonces cualquier punto del rango esencial de la función está en el espectro. Así, por ejemplo (y éste es el ejemplo clásico) el espectro de la multiplicación por $x$ en la línea real es toda la línea. Sin embargo, un punto del espectro no es necesariamente un valor propio. En efecto $\lambda$ es un valor propio (o en el espectro puntual) si $A- \lambda I$ tiene un espacio nulo no trivial. (Y como otros han señalado, en un espacio de Hilbert separable, el espectro puntual es contable).