Utilizaré los mismos nombres y la misma notación que en tu pregunta. Como ya se ha señalado en los comentarios, $Z$ sería simplemente un conjunto normal ya que estamos considerando un pushout en la categoría de conjuntos.
Para la primera parte para ver que el diagrama conmuta, es útil precisar lo que hacen los mapas. La idea es correcta: cuando tenemos una inclusión $A \subseteq B$ de espacios topológicos, entonces cualquier componente de camino $C \subseteq A$ estará contenido en un único componente de ruta (posiblemente mayor) $C' \subseteq B$ (en realidad, esto es cierto incluso cuando sustituimos la inclusión por cualquier función continua, pero no lo necesitaremos aquí). Así es como los mapas $f$ , $g$ , $F$ y $G$ están definidos. En otras palabras, tanto $Gf$ y $Fg$ sólo están tomando un componente de ruta en $U \cap V$ al componente de ruta única en $U \cup V$ que lo contiene. Por tanto, son iguales y el diagrama es conmutable.
Para la segunda parte hay algún tipo de receta estándar a seguir aquí. Va más o menos como sigue:
- Supongamos que una función como $h$ existe.
- Utiliza la conmutatividad del diagrama (es decir $F' = hF$ y $G' = hG$ etc.) para determinar cómo $h$ debe definirse.
- Comprueba que la definición que encontramos en el paso 2 realmente da un mapa bien definido.
Y ya está. La unicidad se deduce también del paso 2: todo mapa que hiciera que todo conmutara tendría que definirse así.
Tenga en cuenta que si ya sabe cómo se calculan los pushouts en la categoría de conjuntos, podrá tomar algunos atajos. Por ejemplo (como se sugiere en los comentarios), construyendo una biyección a partir de $\pi_0(U \cup V)$ a este pushout y mostrando que todo conmuta. Sin embargo, si no se sabe cómo se calculan los "pushouts" de los conjuntos, este método no ayuda a entender nada. Además, este método funciona en un montón de categorías (por ejemplo, intente utilizarlo para construir pushouts o productos en la categoría de espacios topológicos), por lo que es un buen truco para saber.
Así que, probemos esto. Dejemos que $C \in \pi_0(U \cup V)$ sea algún componente del camino en $U \cup V$ ¿qué haría $h(C)$ ¿es necesario? Distinguimos dos casos:
- $C \cap U \neq \emptyset$ Así que $C = F(C_U)$ para algunos $C_U \in \pi_0(U)$ . Entonces debemos tener $h(C) = hF(C_U) = F'(C_U)$ .
- $C \cap V \neq \emptyset$ Así que $C = G(C_V)$ para algunos $C_V \in \pi_0(V)$ . Entonces debemos tener $h(C) = hG(C_V) = G'(C_V)$ .
Define un valor para $h$ para todos los posibles $C \in \pi_0(U \cup V)$ ¿pero está bien definido? Es decir, todavía podríamos estar definiendo múltiples valores para $h(C)$ . Hay dos cosas que tenemos que comprobar en nuestra definición de $h(C)$ .
- ¿Y si $C \cap U \neq \emptyset$ y $C \cap V \neq \emptyset$ ?
- ¿Y si hay distintos $C_U, C_U' \in \pi_0(U)$ tal que $C = F(C_U) = F(C_U')$ ?
Comprobar esto es un poco tedioso, y no muy perspicaz si lo explico aquí. Así que le dejo los detalles a usted. Lo que esencialmente quieres hacer es definir $\sim$ sea la relación de equivalencia más pequeña en $\pi_0(U) \amalg \pi_0(V)$ tal que $C_U \sim C_V$ (para $C_U \in \pi_0(U)$ y $C_V \in \pi_0(V)$ ) cuando $C_U \cap C_V \neq \emptyset$ (por lo que hay $C_{U \cap V} \in \pi_0(C \cap V)$ tal que $f(C_{U \cap V}) = C_V$ y $g(C_{U \cap V}) = C_U$ ). Aquí necesitará que $U$ y $V$ están abiertas en $X$ en algún momento.
