Idea : Crear un nuevo espacio vectorial en el que $T$ es diagonalizable, es decir, tiene subespacios invariantes 1D. Retirar todos los subespacios a $V$ mediante un mapa apropiado, en el que todos los subespacios invariantes se vuelven a mapear a los subespacios disjuntos deseados.
Hacemos lo siguiente : Afirmo que $V$ se le puede dar una estructura de espacio vectorial sobre los números complejos (o un campo isomorfo a los números complejos).
Más concretamente, consideremos $\mathbb Q(T)$ el campo creado tomando todas las funciones racionales en $T$ con coeficientes reales (por lo que los elementos de este campo son matrices de la forma $p(T)(q(T))^{-1}$ donde $p,q$ son polinomios con coeficientes reales). Se ve fácilmente que este campo es isomorfo a $\mathbb Q(i)$ enviando $x+iy \to xI + yT$ y observando la relación satisfecha por $T$ .
Para hacer $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb Q(T)$ es evidente: la suma es la habitual y la multiplicación escalar se define por $(aI+bT)v = av + b(Tv)$ .
Denote $V_{\mathbb Q(T)}$ para $V$ con campo base modificado.
Una vez $V$ es un $\mathbb Q(T)$ subespacio, el operador $T : V_{\mathbb Q(T)} \to V_{\mathbb Q(T)}$ (ahora multiplicación escalar por el elemento de campo $T$ ) es obviamente un operador diagonal independientemente de la base, un múltiplo de la matriz identidad. En consecuencia, obtenemos que $V_{\mathbb Q(T)}$ se rompe en $1$ subespacios dimensionales que son invariantes bajo $T$ (obviamente, tomando cualquier base, los elementos de esta base son todos vectores propios, por lo que forman subespacios invariantes unidimensionales). Esto es similar a cómo la multiplicación escalar (en el entorno habitual) no cambia la matriz independientemente del cambio de base.
Ahora realizamos una restricción de escalares de la siguiente manera. Definimos un mapa $i : V_{\mathbb R} \to V_{\mathbb Q(T)}$ por el mapa de identidad (!)
Afirmo que cualquier subespacio unidimensional $\overline{\{b\}}$ de $V_{\mathbb Q(T)}$ tiene una preimagen bidimensional. Pero esto es obvio : $\overline{\{b\}}$ en $\mathbb Q(T)$ se compone de todos los elementos $(xI+yT)b = xb + yTb \in \overline{\{b,Tb\}_{\mathbb Q}}$ y $b,Tb$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ . Además $T$ invariante. (Todas las comprobaciones fáciles)
Así, si $b_1,...,b_n$ es una base de $V_{\mathbb Q(T)}$ entonces $i^{-1} (\overline{\{b_j\}})$ es una bidimensional $T$ subespacio invariante de $V_{\mathbb Q}$ . Por último, estos subespacios son disjuntos, porque sus imágenes bajo $i$ se encuentran en diferentes subespacios de $V_{\mathbb Q(T)}$ .
De ello se deduce que $V = \oplus i^{-1}(b_j)$ .
