1) Supongamos $G_{1}$ y $G_{2}$ son grupos con sus respectivos subgrupos normales $N_{1}$ y $N_{2}$ . Supongamos que $G_{1}/N_{1} \cong G_{2}/N_{2}$ y $N_{1} \cong N_{2}$ . ¿Implica esto que $G_{1} \cong G_{2}$ ?
2) Supongamos $G/N \cong H$ y se sabe que $N$ y $H$ son ambos finitos. ¿Implica esto que $G$ ¿es finito?
No se me ocurre ningún contraejemplo. Intento obtener información sobre un grupo con sólo conocer sus subgrupos y cocientes.
La primera pregunta es falsa. Consideremos $G_1=\mathbb{Z/9 Z}$ y $G_2=\mathbb{(Z/3Z)}^2$ . Toma $N_1=N_2=\mathbb{Z/3Z}$ .
La segunda pregunta es válida para las consideraciones teóricas sobre los conjuntos, $G$ es una unión finita de $|N|$ muchas copias de un conjunto de tamaño $|H|$ (para ver este hecho tenga en cuenta que si $\varphi$ es el homomorfismo suryectivo de $G$ en $H$ entonces todas las fibras tienen el mismo tamaño).
Toma $G_{1}=\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2},G_{2}=\mathbb{Z}_{4}$ y $N_{1}=N_{2}=\mathbb{Z}_{2}$ entonces $G_{i}/N_{i}\cong\mathbb{Z}_{2}$ pero $G_{1}\not\cong G_{2}$ desde $G_{1}$ no es cíclico y $G_{2}$ es cíclico.
Para su segunda pregunta: $|G/N|=|H|$ pero forma lagrange $|G/N||N|=|G|\implies|G|=|N||H|$ por lo que también es finito.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
