Por favor, revise mi pregunta y la solución. Gracias de antemano.

Question

Cómo muchos de los valores de x están allí, que existe un número entero positivo soluciones de S, tal que $S=\sqrt{x(x+p)}$ donde $x$ es un número entero y $p$ es un número primo $>2$

Este es un problema que he realizado, y se someten a brilliant.org pero antes de hacerlo quiero algunos consejos y vuestros puntos de vista.

Gracias.

Aquí está mi prueba: Primero podemos decir que, dado que (p>2), siempre será impar puesto que es un número primo.

Con el fin de tener (S) como positivo que debemos tener (x) como un cuadrado perfecto. Esto también implica que (x+p) también debe ser un cuadrado perfecto.

(*Prueba*): Supongamos, supongamos que (x) no es un cuadrado perfecto. Esto implica que (x+p) no puede ser un cuadrado perfecto.

(CASO 1:) Cuando (x) es un número par(no es un cuadrado perfecto), tenemos ((x+p)) como extraño. Esto implica que vamos a permanecer siempre con el número irracional (\sqrt{2}), ya que (x) tiene un extraño poder de (2), ya que no es un cuadrado perfecto y (x+p) es impar. (S) por lo tanto no puede ser un entero positivo.

(CASO 2:) Del mismo modo, cuando (x) es impar, (x+p): Cuando (x+p) no es un cuadrado perfecto, entonces, podemos concluir fácilmente que nunca vamos a encontrar una solución positiva para la (S) puesto que (x) y (x+p) están en la parte de enfrente de la paridad y ambos son imperfectos plazas.

Así llegamos a una contradicción.

Por lo tanto, debemos tener (x=N^2) y (x+p=Y^2), donde (N) y (Y) son enteros distintos de (0).(Puesto que ya hemos considerado los casos con 0).

Ahora, $Y^2-N^2=p$ $\Rightarrow (Y+N)(Y-N)=p$

Por lo tanto, se sigue que (Y+N) y (Y-N) son factores de (p) por lo tanto puede ser igual a (1) o (p).

Resolviendo obtenemos $Y=\frac{p+1}{2}$ $N=\frac{1-p}{2}$ o $N=\frac{p-1}{2}$, dependiendo de lo que tomamos (Y+N) y (Y-N) y (N) y (Y) puede ser fácilmente verificada a ser números enteros. Por lo tanto podemos concluir que existe una solución para el cual (x) y (x+p) son cuadrados perfectos. No hay otra solución al$x=-N^2$$x+p=-Y^2$.

Así que hay $2$ soluciones en total.

Answer 1

Es válido afirmar que cuando $x$ es un múltiplo de a $p$ no hay solución. Siguiente, siempre que $x$ no es un múltiplo de $p$ $gcd(x,x+p)=1$.

Como tal, se sigue que, si $x$ y/o $x+p$ son imperfectos plazas, entonces no existe ninguna solución.

Así,

$x=N^2$

$x+p=Y^2$

Answer 2

Supongamos que $x(x + p) = y^2$. A continuación,$y \equiv \pm x \pmod p$, así que vamos a $y = kp \pm x$ algunos $k \in \mathbb{Z}$. Tenemos $k^2p^2 \pm 2kpx + x^2 = x^2 + px$$k^2p = x(1 \pm 2k)$. Por el Algoritmo de Euclides, $(k,1 \pm 2k) = 1$, por lo tanto $k^2 | x$, lo que implica $x = k^2, -k^2, pk^2, \text{ or } -pk^2$.

• Si $x = \pm p k^2$,$x(x + p) = p^2 k^2 (k^2 \mp 1)$, sólo un cuadrado perfecto si $k = 0$.
• Si $x = \pm k^2$, $x$ $x + p$ son cuadrados perfectos, como ya se ha analizado en su post.

Answer 3

Si me voy por sus convenciones, yo no era capaz de entender su pregunta. Así que he intentado que la pregunta por mí y por mis variables.

Deje x ser impar primera.

De manera que x es impar y x+p incluso. Si x no es un cuadrado perfecto, entonces x+p debe ser en forma de (y^2)x, donde y es un número entero.

De modo que y= raíz de (p+x)/x. Si p no es igual a x, y debe ser una fracción, que no es posible. Entonces, p es igual a x y S=(raíz de 2)*x, que no es un número entero. De modo que si x es impar, entonces x debe ser un cuadrado perfecto, y así debe ser x+p.

Deje x ser parte de k^2 y x+p h^2.

Así que h^2+p=k^2.

=>p=k^2-h^2=(h+k)(k-h).

Ahora bien, si p es primo debe tener 1 y el no. en sí mismo sólo como un factor. Si usted equiparar ambos h+k y k-h en separar de los casos, usted obtendrá el mismo resultado donde p es 2k-1. Así que h es k-1. Por lo que k es (p+1)/2 y h es (p-1)/2. Así se obtiene h y k para ambos pares e impares condiciones (la primera suposición tomé). Puesto que x es un entero, también han -h y -k también como las respuestas.

Ahora, si tomamos S de h y k, se pudo obtener en términos de p (que es

S=[(p^2)-1]/2.

No sólo aquí puede obtener S en términos de p (que significa que si x es un natural no. dado que x es un cuadrado perfecto, entonces no tiene ninguna relación con x, ya que aquí h, p y k están relacionadas entre sí.), pero creo que es mucho más fácil de entender.

)

Sé que esto es un poco largo, pero sencillo, pero lo que apetece hacer que usted espera de un joven de 15 años?

Pero me sorprende ver cómo la x viene a ser relacionados con el p si x es un cuadrado perfecto.