Una no-igualdad y una desigualdad que implican $y$ y $y_0$ de Spivak Cálculo 4ª ed.

Question

Es el problema 22. del capítulo 1. Me han dado:

$y_0 \neq 0$

$|y - y_0| < \frac{|y_0|}{2}$

$|y - y_0| < \frac{\epsilon|y_0|^2}{2}$

y debo usarlos para demostrarlo:

$y \neq 0$

$|\frac{1}{y} - \frac{1}{y_0}| < \epsilon$

En realidad nunca he hecho problemas basados en pruebas antes de este libro, así que estoy teniendo un poco de tiempo difícil.Puedo hacer los problemas una vez que tengo la dirección general, pero no estoy seguro de cómo exactamente para empezar.¿Puede alguien ofrecer una pista por dónde empezar? yo también estoy confundido por esto:

$|y - y_0| < \frac{\epsilon|y_0|^2}{2} , |y - y_0| \geq 0 => \frac{\epsilon|y_0|^2}{2} > 0 => \epsilon > 0, y_0 > 0$

(puede utilizar simplemente el $\frac{|y_0|}{2}$ parte, pero la 2ª parte también le informa sobre $\epsilon$ )

Sin embargo $y_0 \neq 0$ ya se concede al principio, aunque obviamente es lo primero en lo que te fijas, así que ¿significa que el autor está insinuando algo con esto?

Answer 1

PRUEBA:

Primer paso: $|y| > \frac{|y_{0}|}{2}$ ya que $|y|-|y_{0}| < |y-y_{0}| < \frac{|y_{0}|}{2}$ .

Segundo paso: $|\frac{y - y_{0}}{y\cdot y_{0}}|<\frac{|y-y_{0}|}{(\frac{|y_0|^{2}}{2})} < \varepsilon\cdot \frac{(\frac{|y_{0}|^{2}}{2})}{(\frac{|y_{0}|^{2}}{2})} = \varepsilon$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Se le da que $\varepsilon > 0$ y $|y - y_0| < \min(|y_0|/2,\varepsilon|y_0|^2/2)$ y se le pide que demuestre que $\varepsilon$ es mayor que $|1/y - 1/y_0|$ . Un primer paso útil sería transformar $|1/y - 1/y_0|$ en una expresión con la que sea más fácil trabajar, dados los supuestos. Para ello, observe que $$\left|\frac{1}{y} - \frac{1}{y_0}\right| = \left|\frac{y_0 - y}{y\cdot y_0}\right| = \frac{|y-y_0|}{|y|\cdot|y_0|} = \frac{1}{|y|} \cdot \frac{1}{|y_0|} \cdot |y - y_0|$$ Ya tenemos un límite para $|y - y_0|$ en $\varepsilon$ a saber $|y - y_0| < \varepsilon|y_0|^2/2$ . Por lo tanto, queda por encontrar un límite adecuado para $1/|y|$ . Observamos que si $|y - y_0| < \varepsilon|y_0|^2/2$ entonces, para demostrar el resultado deseado, necesitamos que $1/|y| < 2/|y_0|$ . Dejaré esta prueba como ejercicio, pero ten en cuenta que debes utilizar el hecho de que $|y - y_0| < |y_0|/2$ junto con la desigualdad del triángulo invertido y el hecho de que $a > b$ implica $a^{-1} < b^{-1}$ para todo real positivo $a$ y $b$ . Espero que esta respuesta le haya sido útil.