Grupo fundamental etale de vecindad formal puntuada

Question

Sea $R$ sea un anillo de característica $p$ . Sea $G$ sea el núcleo del mapa natural $\pi_1^{et} (\operatorname{Spec} R[[x]] [1/x]) \to \pi_1^{et}( \operatorname{Spec} R)$ . $G$ tiene un mapa natural a $\prod_{l\neq p} \mathbb Z_l(1)$ procedentes de los revestimientos de etale contiguos al $n$ ª raíz de $x$ para $n$ prime to $p$ . ¿Es el núcleo de este mapa natural siempre un pro- $p$ ¿Grupo?

Para $R$ un campo, esto es estándar. Pero no estoy seguro de cuándo $R$ no es un campo.

Answer 1

La respuesta es no.

Toma $R=\mathbb F_2[y]$ y consideremos la cubierta definida por la ecuación $t^3+yt+x=0$ . Calculando el discriminante, esta cubierta es etale. El grupo de inercia de esta cubierta es un subgrupo de $S_3$ . Al reducir mod $(y)$ contiene un $3$ -ciclo. Al reducir mod $y-1+x^2$ la ecuación se convierte en $(t^2-xt+1)(t+x)$ por lo que el grupo de inercia contiene un $2$ -ciclo. Así, el grupo de inercia es completo $S_3$ .

Así que $S_3$ es un cociente de $G$ . Pero está claro que si $G$ tiene la propiedad que describo, todo cociente finito de ella debe tener una normal $2$ -subgrupo Sylow, que $S_3$ no lo hace.