El "grupo diedro generalizado" para un grupo abeliano A es el producto semidirecto de A y un grupo cíclico de orden dos que actúa mediante el mapa inverso sobre A . A tiene por tanto índice dos en todo el grupo y todos los elementos fuera de A han pedido dos. Así, al menos la mitad de los elementos de cualquier grupo diedro generalizado tienen orden dos.
Mi pregunta es la inversa: si la mitad o más de los elementos de un grupo finito G tienen orden dos, ¿es necesario que G ¿es un grupo abeliano elemental de 2 o un grupo diedro generalizado? [Nota: En realidad, los grupos 2 abelianos elementales no triviales también son diédricos generalizados, son un caso extremo. Además, nótese que el producto directo de un grupo diédrico generalizado con un 2-grupo abeliano elemental sigue siendo diédrico generalizado, porque el 2-grupo abeliano elemental se puede meter dentro de la parte abeliana].
Tengo una prueba cuando el orden de G es el doble de un número impar m . En ese caso, existe una breve y elegante demostración elemental -- consideramos el conjunto de elementos que pueden escribirse como producto de dos elementos de orden dos y demostramos que se trata de un subgrupo de orden m y, a continuación, demostrar que cualquier elemento de orden dos actúa por el mapa inverso en él, y por lo tanto el subgrupo es abeliano. También puede considerarse como un ejemplo de juguete del teorema de Frobenius sobre los subgrupos y complementos de Frobenius (aunque no necesitamos el teorema de Frobenius).
Sin embargo, estoy teniendo algunas dificultades para generalizar esto, principalmente porque hay elementos de orden dos que están dentro del grupo abeliano.
Aunque tengo una serie de posibles vías de prueba, me abstendré de mencionarlas por ahora porque es probable que la prueba real sea mucho más sencilla y no quiero predisponer a otros que intenten el problema.
