límite en el infinito de una función de $n$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente límite: $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{(2 k) !}{4^k(k !)^2(2 k+1)}-\frac{\pi}{2} $$

He pensado en utilizar la serie: $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n n !^2}{(2 n+1) !}=1+\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\cdots=\frac{\pi}{2} $$

Pero sigo sin ver qué procedimiento es el mejor para continuar.

¿Podría alguien darme una pista o ayudarme a continuar con el valor del límite?

Muchas Gracias

Answer 1

En primer lugar, la función generadora de los coeficientes binomiales centrales, $G(x)$ viene dada por $$G(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{(k!)^2} x^k.$$ Utilizando la teoría binomial, se puede verificar que $$G(x) = (1 - 4x)^{-1/2}$$ Por lo tanto, $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{(k!)^2 (2k+1)} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = 2 \int_{0}^{1/2} G(t^2) \ dt$$ (como $t = 1/2$ está dentro del intervalo de convergencia de $G(t^2)$ ) $$= 2\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1 - 4t^2}} \ dt$$ $$= \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt$$ $$= \frac{\pi}{2}.$$ Así que finalmente el límite tiende a $0$ como $n$ tiende a infinito.