Supongamos que no es suryectiva, entonces tiene grado cero como dices. Entonces puedes crear una contradicción mostrando $\deg f\neq 0.$
En $\|f(x)-x\|=\|f(x)-\mathrm{id}(x)\|< 1,$ tienes la sensación de que son similares.
Pista: Intenta encontrar una homotopía $H:f\simeq \mathrm{id}.$ A continuación, utilice $\deg \mathrm{id}=1.$
Intuición geométrica: Cuando $x\in S^1$ rodea una ronda, como $f(x)$ está cerca de $x,$ $f(x)$ parece dar una vuelta sincronizada. Es decir $\deg f=1.$ Así que usar el grado a considerar no complica la cuestión. Al contrario, te acerca a la esencia de esta función.
La homotopía arrastra $f(x)$ à $x$ , haciendo hincapié en que la intuición es verdadera, en sentido matemático.
En realidad podemos relajar la condición para que sea $\|f(x)-x\|<2,$ es decir $f(x)\neq -x.$ Esto significa que la cuerda que une $f(x)$ y $x$ no es un diámetro, no cumple el origen $0.$ Eso te da la idea de arrastrar $f(x)$ à $x$ por el arco menor correspondiente a la cuerda. Que es la homotopía $$ H(t,x)=\frac{tx+(1-t)f(x)}{\|tx+(1-t)f(x)\|}=\frac{f(x)-t(f(x)-x)}{\|f(x)-t(f(x)-x)\|},\quad t\in [0,1] $$ Para demostrar que es continua, sólo tenemos que demostrar $\|tx+(1-t)f(x)\|\neq 0.$ Es obvio una vez que te das cuenta de que el segmento de línea que los une no es un diámetro.
Si toma valor cero, entonces $tx=(t-1)f(x),$ así que $$\|tx\|=t=1-t=\|(t-1)f(x)\|.$$
Sólo puede ocurrir cuando $t=\frac{1}{2}.$ Sin embargo, en este momento, $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}f(x)\neq 0$ como $f(x)\neq -x.$ Así que siempre tenemos $\|tx+(1-t)f(x)\|>0.$
