Cierre de un operador diferencial

Question

Considere $A:\mathcal{D}(A)\subset L^{2}[0,1]\to L^{2}[0,1]$ dada por $$A:=-\frac{d^{2}}{dx^{2}},\qquad\mathcal{D}(A):=C^{2}_{0}(0,1)$$

Ahora, asumo que el cierre de $A$ es su extensión definida en $C^{2}_{0}[0,1]$ . Entonces, ¿estoy en lo cierto al pensar que esta densamente definido si $\overline{C_{0}^{2}[0,1]}=L^{2}[0,1]$ ?

Answer 1

Su operador está densamente definido y es cerrable. Así que el cierre del operador en cuestión también está densamente definido.

No estoy seguro de su notación $\mathcal{C}_0^{\infty}$ ¿significa que las funciones desaparecen en los puntos finales, o significa que están compactamente soportadas en $(0,1)$ ? Desgraciadamente, he visto utilizar esa notación de ambas maneras.

Si $C_0^{\infty}(0,1)$ es el dominio inicial $\mathcal{D}(A)$ y suponemos un soporte compacto, entonces el cierre de $A$ tiene un dominio formado por $f \in L^2[0,1]$ que puede modificarse en un conjunto de medida $0$ para obtener una función dos veces absolutamente continua $\tilde{f}$ en $[0,1]$ tal que $\tilde{f}(0)=\tilde{f}'(0)=\tilde{f}(1)=\tilde{f}'(1)=0$ y $\tilde{f}''\in L^2$ .