Matriz con $i,j$ entrada $a_i/(a_i + a_j)$

Question

Supongamos que $a_1 > a_2 > \cdots > a_n > 0$ Consideremos un $n\times n$ matriz $A$ con $i,j$ entrada $\frac{a_i}{a_i + a_j}$ . Me pregunto si la matriz tiene un nombre o alguna información sobre los valores y vectores propios. Todo lo que puedo observr es $A - 1/2$ es una matriz asimétrica, pero nada más.

¡Muchas gracias!

Answer 1

$A$ es el producto de dos matrices definidas positivas $\operatorname{diag}(\mathbf a)$ y $\left(\frac{1}{a_i+a_j}\right)_{i,j\in\{1,2,\ldots,n\}}=\int_0^\infty e^{-x\mathbf a}e^{-x\mathbf a^\top}dx$ donde $\mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)^\top$ y $e^{\mathbf v}$ denota el exponencial por entradas de un vector fila/columna $\mathbf v$ . Por lo tanto $A$ tiene un espectro positivo.

De ello se deduce que cada uno de los valores propios $\lambda$ de $A$ tiene un vector propio unitario real correspondiente $\mathbf v$ . Sin embargo, como $A+A^\top=\mathbf e\mathbf e^\top$ (donde $\mathbf e=(1,1,\ldots,1)^\top$ ), $$ 2\lambda =\mathbf v^\top(A+A^\top)\mathbf v =\mathbf v^\top\mathbf e\mathbf e^\top\mathbf v =(\mathbf v^\top\mathbf e)^2 \le\|\mathbf v\|_2^2\|\mathbf e\|_2^2 =n. $$ Por lo tanto $\rho(A)\le\frac n2$ . Desde $A$ es positiva a la entrada, por el teorema de Perron-Frobenius, $\rho(A)$ es un valor propio simple de $A$ y tiene un vector propio correspondiente que es positivo a la entrada.