$$ \begin{cases} \displaystyle u(x+u)\frac {\partial }{\partial } - y(y+u)\frac {\partial }{\partial } = 0 \\ u=\sqrt y ,x =1 \end{cases} $$
mi idea: ¿Podemos resolver por el método : $$\frac {x}{u(+u )} = \frac{y}{-y( +u)}$$
Respuestas
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Cocomos
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8
Este problema puede resolverse utilizando el método de las características. Sea $t$ sea la coordenada característica, obtenemos este sistema de ecuaciones diferenciales $$\frac{dx}{dt} = u(x+u), \quad\frac{dy}{dt} = -y(y+u), \quad\frac{du}{dt} = 0$$ Podemos resolver fácilmente $u$ siempre que la condición inicial $u(x(0),y(0))=\sqrt{y_0}$ , $$u = \sqrt{y_0}$$ Introduciendo este resultado en la ecuación diferencial para $x$ e integrando se obtiene $$x(t)=ce^{\sqrt{y_0}t}-\sqrt{y_0}$$ Utilizando la condición inicial de que $x(0)=1$ da $$x(t) = \left(1+\sqrt{y_0}\right)e^{\sqrt{y_0}t}-\sqrt{y_0}$$ Al resolver la ecuación diferencial para $y$ vemos que tras aplicar la condición inicial $y(0)=y_0$ (y después de un poco de álgebra) que $$y(t)=\frac{y_0}{\left(1+\sqrt{y_0}\right)e^{\sqrt{y_0}t}-\sqrt{y_0}}$$ Podemos reescribir la ecuación para $y$ simplemente en términos de $u$ y $x$ invirtiendo así la ecuación y eliminando la coordenada característica $$y=\frac{u^2}{x}$$ El reordenamiento da la solución simple a la EDP de apariencia complicada $$\boxed{u(x,y) = \sqrt{xy}}$$ Si volvemos a introducirlo en la EDP original, se verifica el resultado. Que la Cuarta te acompañe.
Cesar Eo
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61
Comparación de
$$ \left\{ \begin{array}{rcl} u(x+u)u_x-y(y+u)u_y & = & 0\\ u_x dx + u_y dy & = & du \end{array} \right. $$
concluimos $u(x,y) = C_0$ a lo largo de las curvas características y
$$ \frac{dx}{x+C_0}= - \frac{C_0dy}{y(y+C_0)} $$
Integración de ambas partes
$$ \ln(C_0+x)+\ln(y)-\ln(y+C_0) = C_1 $$
A partir de ahora, por favor, siga los comentarios LutzL a continuación.
(LutzL copia del comentario) $$ \frac{(x+C_0)y}{y+C_0}=\pm e^{C_1}=C_2=\phi(C_0), $$ ya que la solución es una familia de curvas características de un parámetro, es decir, sólo hay un grado de libertad entre las dos constantes de integración. A continuación, introducimos la condición inicial $C_0=u(1,y)=\sqrt{y}=t$ , $y=t^2$ para obtener $$ \phi(t)=\frac{(1+t)t^2}{t^2+t}=t $$ de modo que (utilizando de nuevo que $C_0=u(x,y)$ ) $$ (x+C_0)y=C_0(y+C_0)\iff xy=C_0^2=u(x,y)^2. $$
