Problemas para entender el pequeño teorema de Fermat en el caso no coprimo

Question

Para el caso en que algún número entero, $n$ es coprimo de un módulo primo, $p$ He demostrado y comprendido el Pequeño Teorema de Fermat, ya que no es más que el Teorema de Euler aplicado a un módulo primo.

Para el caso en que algún número entero $n$ no es coprimo de $p$ $$ \gcd(n,p) \neq 1 \implies p | n $$ Esto significaría que $$ n \equiv 0\mod p.$$ Hasta aquí todo bien. Pero ¿cómo se pasa de aquí a $$0 \equiv n^p \equiv n \mod p$$ como hace Herstein en la página 44 de topics in algebra.

Cualquier ayuda o indicación es más que apreciada.

Answer 1

Ambos lados son entonces divisibles por $p$ por lo que su diferencia también lo es.

Answer 2

Si $$\begin{align}{a\equiv b\mod p,\\c\equiv d\mod p,}\end{align}$$

entonces $$ac\equiv bd\mod p,$$

desde $n\equiv n\mod p$ así que en tu caso $$n*n*n*\dots\equiv0*n*n*\dots\mod p,$$

dado $n\equiv0\mod p$ Así que $$n^p\equiv0\equiv n\mod p.$$