Si $A+B+C=\pi$ demuestre que $\cos (A-B) \cos (B-C) \cos (C-A)\ge 8\cos A \cos B \cos C$

Question

Si $A+B+C=\pi$ demuestre que $\cos (A-B) \cos (B-C) \cos (C-A)\ge 8\cos A \cos B \cos C$

Sé que esto es cierto para el triángulo de ángulo agudo.

Quiero saber si es cierto para cada real $A,B,C$ tal que $A+B+C=\pi.$

Answer 1

Sí, esta desigualdad es cierta para cualquier real $A,$ $B$ y $C$ tal que $A+B+C=\pi.$

En efecto, dejemos que $\cos(A-B)=x$ y $\cos(A+B)=y.$

Por lo tanto, tenemos que demostrar que: $$x(\cos(A+B-2C)+\cos(A-B))\geq8(\cos(A+B)+\cos(A-B))(-\cos(A+B))$$ o $$x(\cos3(A+B)+x)+8y(x+y)\geq0$$ o $$x(4y^3-3y+x)+8y(x+y)\geq0$$ o $$x^2+(4y^3+5y)x+8y^2\geq0,$$ para lo cual basta con demostrar que $f(x)\geq0,$ donde $$f(x)=x^2-(4y^3+5y)x+8y^2$$ y $\{x,y\}\subset[0,1].$

Ahora bien, si $$(4y^3+5y)^2-4\cdot8y^2\leq0$$ o $$0\leq y\leq\frac{\sqrt{4\sqrt2-5}}{2},$$ por lo que nuestra desigualdad queda demostrada.

Pero para $\frac{\sqrt{4\sqrt2-5}}{2}<y\leq1$ vemos que $\frac{4y^3+5y}{2}>1,$ que dice que $f$ disminuye.

Id est, $$f(x)\geq f(1)=1-4y^3-5y+8y^2=(1-y)(2y-1)^2\geq0$$ ¡y ya está!

Answer 2

Resultado por establecer :

$$\begin{matrix}A+B+C=\pi \ \implies\\ \ \cos (A-B) \cos (B-C) \cos (C-A)\ge 8\cos A \cos B \cos C\end{matrix}\tag{*}$$

Me gustaría dar aquí una variación de la excelente idea de Michael de utilizar la siguiente parametrización de una "forma triangular", es decir, un triángulo conocido por sus ángulos) :

$$x:=\cos(A-B), \ \ \ y=\cos(A+B)\tag{1}$$

Permítanme tomar su prueba donde

$$x^2+(4y^3+5y)x+8y^2 \ \ \text{has to be proven} \geq 0,\tag{2}$$

y tomar ahora un camino diferente.

Resultado $(*)$ se ha demostrado para ángulos agudos ; podemos considerar WLOG (debido a la intercambiabilidad de $A,B,C$ en $(*)$ que

$$\pi > A \geq \tfrac{\pi}{2} \geq B \geq C > 0\tag{3}$$

Una primera consecuencia de (3) es que

$$C \leq \pi/2-A/2 \tag{&}$$

como demuestra el razonamiento por contradicción.

Para entender el impacto de la restricción (3), he realizado una simulación (ver figura inferior) que ha evidenciado que los puntos $(x,y)$ definidos por (1) están restringidos a estar en una cierta área estrecha limitada en particular por una curva (en rojo) cuya ecuación parametrizada (resp. cartesiana) no evidente es (ver explicación más abajo)

$$\begin{cases}x&=&&\sin(3A/2)\\y&=&-&\sin(A/2)\end{cases} \ \ \implies \ \ x=4y^3-3y \tag{4} $$

Como tenemos, para todos $(x,y)$ :

$$-1 \leq x \leq 4y^3-3y\tag{5},$$

podemos decir que : $4y^3 \geq x+3y$ permitiendo concluir, a partir de (2):

$$x^2+(4y^3+5y)x+8y^2 \geq x^2+(x+3y+5y)x+8y^2=2(x+2y)^2 \geq 0$$

(con igualdad si y sólo si $x \to 1,y \to -1/2$ correspondiente al caso límite en el que $A=B \to \pi/2$ mientras que $C \to 0.$ ).

Explicación de (4) :

Para el caso límite $C =(\pi-A)/2$ en (&), tenemos

• $x=\cos(A-B)=\cos(A-(\pi-A-C))=\cos(2A+C-\pi)=$

$=-\cos (2A+C)=-\cos(\pi/2-3A/2)=\sin(3A/2)$ y

• $y=\cos(A+B)=\cos(A+(\pi-A-C))=-\cos(C)=-\cos(\pi/2-A/2)=-\sin(A/2)$