He estado intentando calcular cómo un autor de un libro obtiene RHS de LHS. Afirma que hace una integración por partes. Dice que cuando $x \rightarrow \pm~\infty$ función $f(x) \rightarrow 0$ . $f(x)^*$ es conjugado de $f(x)$ pero no creo que juegue un papel importante aquí.
$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{d\,f(x)}{dx} {f(x)}^* - \frac{d\,{f(x)}^*}{dx} f(x) \right) dx = 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d\, f(x)}{dx} f(x)^* \, dx $$
Lo he intentado y lo único que he conseguido ha sido 1º escribir integrales separadas para la diferencia entre paréntesis y 2º intentar calcular la última integral por partes:
$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{d\,f(x)}{dx} {f(x)}^* - \frac{d\,{f(x)}^*}{dx} f(x) \right) dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d\,f(x)}{dx} {f(x)}^* \, dx - \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d\,{f(x)}^*}{dx} f(x) \, dx}_{\text{by parts}} = \dots $$
$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \underbrace{f(x)}_{u} \,\underbrace{\frac{d\,{f(x)}^*}{dx} \, dx}_{dv} = \underbrace{u\cdot v\Bigg|^{\infty}_{-\infty} - \int\limits_{-\infty}^{\infty} v\, du}_{\text{i used standard by parts formula}} = \underbrace{f(x)\cdot \frac{d\, f(x)^*}{dx} \Bigg|^{\infty}_{-\infty}}_{=0 ~ ???} - \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d \, f(x)^*}{dx} \, d f(x) $$
Esto se pone raro especialmente la última parte ( quiero decir $df(x)$ ). No estoy seguro de si he calculado $v$ y $du$ corectamente... Alguien podría arreglarme estoy seguro de que hice algo completamente equivocado.
