Considere un esquema $(X,\mathcal{O}_X)$ y un subconjunto cerrado $Y$ de $X$ . Sea $X = \bigcup U_i, \, U_i \cong \operatorname{Spec}(A_i)$ sea un recubrimiento afín abierto de $X$ y que $Y_i = U_i \cap Y$ . Entonces $Y_i$ está cerrado en $U_i$ y se le puede dotar de una estructura de subesquema cerrado mediante el epimorfismo de anillo $A_i \rightarrow A_i / a_i$ donde $a_i = \bigcap_{P \in\operatorname{Spec}(A_i) \cap Y} P$ . Observe que $a_i$ es radical, por lo que $A_i/a_i$ se reduce. Esta construcción dota a cada $Y_i$ con una gavilla $\mathcal{F}_i$ de anillos reducidos. Obsérvese que el $Y_i$ forman una cubierta abierta de $Y$ . Por lo tanto, queremos pegar el $\mathcal{F}_i$ para obtener una gavilla reducida $\mathcal{F}$ en $Y$ . Por ello, y a la vista del ejercicio II. $1.22$ queremos demostrar isomorfismos $\phi_{ij}: \mathcal{F}_i|_{Y_i \cap Y_j} \rightarrow \mathcal{F}_j|_{Y_i \cap Y_j}$ así como que la condición de cociclo $\phi_{ik} = \phi_{jk} \circ \phi_{ij}$ se mantiene $Y_i \cap Y_j \cap Y_k$ . Hartshorne dice que esta tarea puede reducirse a lo siguiente: dado un abierto afín $U= \operatorname{Spec}(A)$ y $f \in A$ demuestran que la estructura reducida en $D(f) \cap Y$ inducida por la restricción de la estructura reducida sobre $\operatorname{Spec}(A) \cap Y$ es la misma que la estructura reducida en $\operatorname{Spec}(A_f) \cap Y$ . ¿Puede alguien explicar cuál es exactamente el argumento que lleva a esta reducción?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\require{AMScd}$ $\newcommand{\spec}[1]{\mathrm{Spec}(#1)}$ Esta reducción al caso $A \to A_f$ aparece con bastante frecuencia en construcciones functoriales relacionadas con un esquema en geometría algebraica. Se deduce del hecho de que para un esquema $X$ y una cubierta $(U_i)_i$ con afines abiertos $U_i = \spec{A_i}$ podemos elegir una cobertura formada por el original $U_i$ y afines adicionales $U_{ijk} = \spec{A_{ijk}} \in U_i \cap U_j$ tal que el $(U_{ijk})_k$ portada $U_i \cap U_j$ y tenemos diagramas $$ \begin{CD} A_i @>>> A_i\\ @VVV @VVV\\ A_{ijk} @>>> (A_i)_{f_{ijk}} \end{CD} $$ y $$ \begin{CD} A_j @>>> A_j\\ @VVV @VVV\\ A_{ijk} @>>> (A_j)_{g_{ijk}} \end{CD} $$ donde los mapas verticales inducen las respectivas inmersiones abiertas y los horizontales son isomorfismos.
Para demostrarlo, empezamos con un lema:
Lema A
Sea $U=\spec{A}$ y $V = \spec{B}$ y $j:V \to U$ una inmersión abierta inducida por $\varphi:A \to B$ . Además $D(f) = \spec{A_f} \subseteq j(V)$ ser también una inmersión abierta. Entonces $\spec{A_f} = \spec{B_{\varphi(f)}}$ .
No lo pruebo, es bastante obvio.
Ahora para un $x \in U_i \cap U_j$ elija una $f'_{ijk}$ tal que para $B = (A_i)_{f'_{ijk}}$ tenemos $x \in \spec{B} \subseteq U_i \cap U_j$ . A continuación, elija una $g'_{ijk}$ tal que $x \in \spec{(A_j)_{g'_{ijk}}} \subseteq \spec{B}$ . Si $\psi:A_j \to B$ es el mapa que induce $\spec{B} \subseteq U_j$ entonces $\spec{B_{\psi(g'_{ijk})}} = \spec{(A_j)_{g'_{ijk}}}$ por el lema A. Ahora $B_{\psi(g'_{ijk})} = (A_i)_{f_{ijk}}$ para un determinado $f_{ijk} \in A_i$ . Concretamente $\psi(g'_{ijk}) = h_{ijk}/(f'_{ijk})^d$ entonces $f_{ijk} = f'_{ijk} h_{ijk}$ con $h_{ijk} \in A_i$ . Configuración $g_{ijk}=g'_{ijk}$ tenemos
$$x \in U_{ijk}:=\spec{A_{ijk}}:= \spec{(A_i)_{f_{ijk}}} = \spec{(A_j)_{g_{ijk}}} \subseteq U_i \cap U_j$$
Así que tenemos, dependiendo de $x \in U_i \cap U_j$ construyó nuestro $U_{ijk}$ que es un subconjunto abierto estándar de $U_i$ así como de $U_j$ . Repasando todos $i,j$ y todos $x$ construimos la totalidad de todos los $U_{ijk}$ .
En la cubierta $(U_i, U_{ijk})$ sólo los morfismos $\gamma_{i,ijk}:U_{ijk} \to U_i$ y $\gamma_{j,ijk}:U_{ijk} \to U_j$ existen y son por construcción de la forma $A \to A_f$ . Uniendo estos datos se obtiene el esquema original $X$ .
Ahora para su caso específico yo argumentaría, que el functor
$$F(U) = (U \cap Y)_\mathrm{red}$$
respeta los isomorfismos $U \cong U'$ y (por demostrar) tenemos $F(U_f) = F(U)_f$ . Así que los datos de encolado de arriba dan datos de encolado $F(U_i), F(U_{ijk}), F(\gamma_{i,ijk}), F(\gamma_{j,ijk})$ que se pegan para dar $Y$ con la estructura inducida reducida.
