álgebra sobre un anillo datos equivalentes a homomorfismo de anillo datos

Question

Estoy siguiendo las notas que indican que los datos de un $A$ -Algebra $B$ es igual a un homomorfismo de anillo $A\to B$ . Me estoy preguntando si este es el caso, ya que lo que faltaba es cómo el $A \times B\to B$ que después de dar el homomorfismo de anillo $A\to B$ puede interpretarse como:

para $a\in A$ y $b\in B$ , $ab$ se da $F(a)b$ donde $F$ ¿es el homomorfismo de anillo anterior?

Answer 1

Si se tienen en cuenta todos los axiomas del álgebra se ve que $F$ debe asignar elementos de $A$ en el centro de $B$ . La acción $A\times B \to B$ de $A$ en $B$ puede obtenerse a partir de la multilpicación $\mu$ en $B$ vía $$ A \times B \overset{F \times id_B}\longrightarrow B \times B \overset{\mu} \longrightarrow B.$$ O en fórmulas: $a \cdot b = F(a)b$ donde $\cdot$ denota la acción de $A$ en $B$ y concatenación denota el producto de $B$ .