Integrando la función Schechter...

Question

Intento integrar esta ecuación sobre todo L.

Realmente no tengo ni idea de por dónde empezar por alguna razón :S

$$\phi(L)dL=\phi_0\left(\dfrac L{L\star}\right)^\alpha\exp\left(-\dfrac L{L\star}\right)\dfrac{dL}{L\star}.$$

Según internet debería acabar con esto:

$$\int_0^\infty L\phi d=\phi_0L_\star\Gamma(\alpha+2)$$

Pero no puedo entender por qué

Answer 1

Como se sugiere en el comentario la integral es fácil de resolver en términos de la función Gamma:

Reescala $L/L\star=x$ , $(L\star)dx=L$ \begin{align} \int_0^{\infty}\phi_0\left(\frac{L}{L\star}\right)^{\alpha}e^{-\frac{L}{L\star}}\frac{dL}{L\star}=(\phi_0L\star)\int_0^{\infty}t^{\alpha+1}e^{-x}dx=\phi_0(L\star)\Gamma(\alpha+2) \end{align}