Encontrar la "descomposición canónica" de una función -- No sé si lo estoy haciendo bien

Question

Me han dicho que identifique los términos en el descomposición canónica de la función r |-> exp(2*pi*i*r) de R -> C.

He podido dar una respuesta, pero creo que he malinterpretado la pregunta, porque no parece que haya hecho nada. Esta es mi respuesta:

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A es R (reales)

Z es C (complejo)

dejemos f: R -> C sea r |-> exp(2*pi*i*r)

Elige = como relación de equivalencia ~

entonces A/~ es el conjunto de singletons {{x} | x en R}

la función q: A -> A/~ puede escribirse como q(x) = {x}

por definición, f~([a]~) = f(a) donde f~ es la función de A/~ a im f

sabemos que [a]~ = {a}, por lo tanto, f~([a]~) = f~({a}) = f(a) = exp(2*pi*i*a),

f~({a}) = exp(2*pi*i*r)

la tercera función es la inclusión v: im f -> B, v(x) = x

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La razón por la que creo que me estoy perdiendo algo es porque podría haber sustituido la función r |-> exp(2*pi*i*r) por prácticamente cualquier otra cosa, y simplemente sustituir esa expresión en dos lugares sin cambiar la respuesta. ¿Me estoy perdiendo algo?

He buscado más información sobre la "descomposición canónica", pero no parece ser un término muy utilizado.

Answer 1

Si lees tu enlace, puedes ver que la relación no se elige, ella está determinada por la elección de $f$ :

$x\sim{} y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ .

Así que en este caso, se puede demostrar que la relación es $x\sim{}y\Leftrightarrow e^{2i\pi x}=e^{2i\pi y}\Leftrightarrow x\equiv y \mod 1$

Entonces su cociente es $\mathbb{R}/{\sim{}}=\{x+\mathbb Z : x\in \mathbb R\}$ donde $x+\mathbb Z= \{x+n: n\in\mathbb Z\}$ .

Así que $q(x)=x+\mathbb{Z}$ y $\tilde{f}(x+\mathbb{Z})=exp(2i\pi x)$ (v es como en tu pregunta).