Como estamos aproximando $f$ por una función constante, y el espacio de las funciones constantes está abarcado por un único elemento de base, no hay razón para apelar (explícitamente) a las bases aquí.
Según los comentarios, queremos encontrar la función constante $g(x) = c$ que minimice la distancia desde $f(x) = \frac{1}{x}$ con respecto al producto interior dado, o en otras palabras, encontrar la constante $c$ que minimiza $$(f - g, f - g) = \int_1^3 (f - g)^2 dx = \int_1^3 \left(\frac{1}{x} - c\right)^2 dx.$$
Podemos expandir el integrando, integrar y luego diferenciar con respecto a. $c$ y resolver para encontrar el valor óptimo de $c$ pero es ligeramente más rápido diferenciar con respecto a $c$ primero y luego integrar (esto tiene el coste de recordar y comprobar la condición que nos permite diferenciar bajo el signo integral): $$\frac{d}{dc}(f - g, f - g) = \frac{d}{dc}\int_1^3 \left(\frac{1}{x} - c\right)^2 dx =\int_1^3 \frac{d}{dc}\left[\left(\frac{1}{x} - c \right)\right]^2 dx \\= \int_1^3 2\left(c - \frac{1}{x}\right) dx = \left. 2(cx - \log x)\right\vert_1^3 = 4c - 2 \log 3.$$ La cantidad $(f - g, f - g)$ tiene un valor crítico (único) en el que esta expresión es cero, a saber, en $c = \frac{1}{2} \log 3 = \log \sqrt{3}$ .
(Estrictamente hablando necesita argumentar por qué esto es un mínimo y no otro tipo de punto crítico. Una forma de hacerlo es demostrar que $$\left.\frac{d^2}{dc^2}\right\vert_{c = \frac{1}{2} \log 3} (f - g, f - g) > 0.)$$
Editar Alternativamente, podemos simplemente proyectar sobre el subespacio. Si abusamos de la notación y dejamos que $c$ representan la función con valor constante $c$ la proyección de $f$ en el subespacio abarcado por $c$ es $$\frac{(f, c)}{(c, c)} c = \frac{\int_1^3 cf \,dx}{\int_1^c c^2 \,dx} c = \frac{c^2 \int_1^3 \frac{dx}{x}}{c^2 \int_1^3 dx} = \frac{\log 3}{2}$$ como desee. Tenga en cuenta que si $c$ tiene longitud de uso, es decir, si $(c, c) = 1$ entonces el mapa de proyección se simplifica a $$f \mapsto (f, c) c.$$
En general, dada una base ortonormal $(w_1, \ldots w_m)$ de un subespacio vectorial $W$ de un espacio producto interior $(V, (\, \cdot\, , \,\cdot\,))$ la proyección ortogonal sobre $W$ tiene la sencilla fórmula $$v \mapsto (v, w_1) w_1 + \cdots + (v, w_m) w_m,$$ y este mapa es independiente de la base $(w_a)$ de $W$ se utiliza.
