Aproximación de una función integrable mediante una función simple (Demostración de la existencia)

Question

Sea $f \in L^1(\mathbb{R})$ y que $\epsilon > 0$ . Demuestre que existe la función simple $g=\sum_{k=1}^{n}c_k 1_{A_k}$ tal que, $$\int_\mathbb{R} |f(x)-g(x)|dx \leq \epsilon$$ y tal que $n \in \mathbb{N}$ y $A_k$ están acotadas. No puedo encontrar una buena partición, y no entiendo cómo encontrar la $n$ que satisfaga mis necesidades. Es como si me faltara información.

Answer 1

Por definición de integral de Lebesgue, tenemos para una función integrable no negativa $g$ y cualquier $\varepsilon$ una función sencilla $h$ tal que $\int_{\mathbb R}|g-h|\mathrm d\lambda\lt\varepsilon$ . Al dividir la función en su parte negativa y positiva, podemos extender esto a cualquier función integrable.

Significa que podemos encontrar un número entero $n$ números reales $c_1,\dots,c_n$ y una colección de conjuntos disjuntos con medida finita tal que $$\int_{\mathbb R}\left|f-\sum_{j=1}^nc_j\mathbf 1(A_j)\right|\mathrm d\lambda\lt \varepsilon/2.$$ En general, los conjuntos $A_j$ puede no estar acotada. No obstante, dado que $\lambda\left(A_j\cap[-l,l]\right)\to \lambda(A_j)$ como $l$ va a infinito, podemos tomar para cada $j\in\{1,\dots,n\}$ un número entero $n_j$ tal que $|c_j|\left(\lambda(A_j)-\lambda\left(A_j\cap[-n_j,n_j]\right)\right)\leqslant \varepsilon/(2n).$