¿Las premisas implican lógicamente la conclusión?

Question

$$b\rightarrow a,\lnot c\rightarrow\lnot a\models\lnot(b\land \lnot c)$$

He generado una tabla verdadero-falso de 8 filas, separándola en $b\rightarrow a$ , $\lnot c\rightarrow\lnot a$ y $\lnot (b\land\lnot c)$ . Sé que si fuera

$$\lnot c\rightarrow\lnot a\models\lnot(a \land \lnot c)$$

Sólo tendría que comprobar el lado derecho con cada valor que hace que el lado izquierdo sea verdadero para asegurarme de que la afirmación global es verdadera. ¿Cómo hago con más de una premisa?

Answer 1

La segunda premisa $\neg c\to\neg a$ implica que $a\to c$ .

La primera premisa $b\to a$ conduce a $b\to a\to c$ lo que implica $\neg c\to\neg b$ .

Las dos últimas afirmaciones impiden claramente $b\land\neg c$ de ser verdad.

Answer 2

Esto se puede mostrar de dos maneras. Una de ellas es utilizar la semántica de tabla de verdad: tus hipótesis están conectadas por una "y". Otra forma equivalente, pero más rápida, es utilizar el método de los cuadros analíticos que consiste esencialmente en buscar formas de falsar la afirmación (si todas resultan contradictorias, entonces debe ser cierta).

Un tercer método que puedes utilizar es el llamado cálculo secuencial. Esto funciona en el cálculo proposicional intuicionista, que no utiliza la ley del medio excluido. Lo bueno de IPC es que el uso de cálculo secuencial en realidad puede producir funciones que verifican la fórmula.

$b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a \vdash \lnot (b \land \lnot c) \;\;\; \mathrm{notR}$

$\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, (b \land \lnot c) \vdash false \;\;\; \mathrm{andL}$

$\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b,\lnot c \vdash false \;\;\; \mathrm{impL}$

$\;\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b,\lnot c \vdash b \;\;\; \mathrm{axiom}$

$\;\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b, \lnot c, a \vdash false \;\;\; \mathrm{impL}$

$\;\;\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b, \lnot c, a \vdash \lnot c \;\;\; \mathrm{axiom}$

$\;\;\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b, \lnot c, a, \lnot a \vdash false \;\;\; \mathrm{notL}$

$\;\;\;\;\;b \Rightarrow a, \lnot c \Rightarrow \lnot a, b, \lnot c, a, \lnot a \vdash a \;\;\; \mathrm{axiom}$

La prueba que esto produce es la siguiente función (a menos que me haya equivocado al formar el término prueba): $\lambda f. \lambda x. (f_1(x_1),f_2(x_2))$