$\mathfrak{so}(3)=\ker d\phi(I)$ es el álgebra de Lie de $SO(3)$ .

Question

Sea $\phi: GL(3,\Bbb R)\to S$ definido por $\phi(A)=AA^t$ donde $S$ es el subconjunto de matrices simétricas. Tengo dos preguntas:

Q1: demuestre que $\ker d\phi(A)=\{H\in \mathfrak{gl}(3,\Bbb R)|A^{-1}H\in \ker d\phi(I)\}$

Sé que $d\phi(A)(H)=AH^t+HA^t$ . Así $\ker d\phi(A)=\{H\in \mathfrak{gl}(3,\Bbb R)|AH^t=-HA^t\}.$

Q2: Demostrar que $\mathfrak{so}(3)=\ker d\phi(I)=T_ISO(3).$

Answer 1

$\phi$ es un mapa cuadrático y $d\phi_A(H)=HA^T+AH^T$ . Deducimos que $ker(d\phi_A)=\{H:HA^T+AH^T=0\}$ $ker(d\phi_I)=\{H:H+H^T=0\}$ .

$HA^T+AH^T=0$ es equivalente a $A^{-1}(HA^T+AH^T)(A^{-1})^T=A^{-1}H+(A^{-1}H)^T=0$ y esto equivale a decir que $A^{-1}H$ es un elemento de $ker(d\phi_I)$ .