Perfeccionamiento de la hipótesis de Riemann

Question

He leído a menudo que la hipótesis de Riemann es algo así como:

Los primos están tan regularmente distribuidos como podemos esperar.

Por ejemplo $\pi(x) = Li(x)+ O(x^{\sigma+\epsilon})$ para cualquier $\epsilon>0$ siempre que no haya ceros de $\zeta$ para cualquier $s \in \mathbb{C}$ con $\Re s > \sigma$ . Y por supuesto $\sigma=\frac{1}{2}$ es lo mejor que podemos esperar.

Sin embargo, hay casos/problemas en los que la hipótesis de Riemann no da las respuestas "conjeturales correctas" sobre la distribución de los números primos. sobre la distribución de los números primos. Permítanme exponer un ejemplo sobre el que he leído recientemente. La conjetura de Cramer http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture afirma que $$ p_{n+1} - p_n = O(\log^2 p_n ). $$ Aquí, la hipótesis de Riemann sólo da $p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n )$ . Así que, en cierto sentido, RH no da lo mejor que podemos esperar.

Ahora pido que se introduzcan mejoras para conseguirlo. ¿Podría, por ejemplo, deducirse la conjetura de Cramer a partir de un refinamiento de $\pi(x) = Li(x)+ O(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ (bajo RH), tal vez haciendo que el término O sea más preciso. ¿Y cómo se reflejaría esto en términos de la $\zeta$ -y sus ceros.

Sé que hay generalizaciones a otros $L$ -funciones y refinamientos como la conjetura de correlación de pares o las predicciones de la teoría de matrices aleatorias (aunque no tengo ni idea de esto). Pero no sé si estos pueden ayudar a resolver, por ejemplo, la conjetura de Cramer. Mi pregunta es algo imprecisa (si alguien puede redactarla mejor, que no dude en editarla). : ¿Existe una "Super Hipótesis de Riemann" que prediga propiedades más fuertes de la $\zeta$ u otros $L$ -¿funciones que resolverían la mayoría de las cuestiones sobre la distribución de los primos?

EDIT: Gracias por las respuestas hasta ahora. Dado que Charles señaló que mi pregunta es realmente demasiado imprecisa, ya que podríamos demostrar cualquier cosa sobre los primos si conociéramos los ceros de $\zeta$ Voy a reformular mi pregunta inspirándome en el interesante artículo de Heath-Brown mencionado por Idoneal: ¿Qué tipo de propiedades tenemos que conocer/suponer sobre los ceros de $\zeta$ para deducir la conjetura de Cramer?

Answer 1

En el caso de la función zeta de Riemann, existen varias conjeturas que son más sólidas que la Hipótesis de Riemann y que implican resultados más sólidos sobre la distribución de los números primos que los que se conocen sólo sobre la HR. La más notable es probablemente la conjetura de correlación de pares de Montgomery. Se trata de una conjetura que asume la hipótesis de Riemann y predice una distribución más fina de los espacios entre las partes imaginarias de los ceros. Hay conjeturas similares de Katz y Sarnak para muchas otras hipótesis. $L$ -funciones. Un buen lugar para leer sobre esto es el artículo de Katz y Sarnak http://www.ams.org/journals/bull/1999-36-01/S0273-0979-99-00766-1/home.html

Sobre la conjetura que has mencionado, no sé si alguna conjetura estándar sobre los ceros de la función zeta de Riemann la implica. Heath-Brown tiene un resultado sobre la aplicación de PCC en huecos entre primos consecutivos, pero no creo que se acerque a éste.

Answer 2

Sí, su pregunta es imprecisa. Si supiéramos exactamente dónde están los ceros zeta, podríamos responder a cualquier pregunta sobre los primos que pudiera formularse mediante las fórmulas explícitas. En términos crudos, los primos se obtienen a partir de los ceros mediante una transformada integral. Las preguntas concretas pueden depender, por ejemplo, de dependencias racionales entre las partes imaginarias de los ceros. Existe bastante bibliografía sobre los resultados condicionales de los números primos, y si lo que se pregunta es si existe una forma de empaquetarlo todo de forma ordenada, yo esperaría que la respuesta más razonable fuera "no" en lugar de "sí". Varias generaciones de teóricos analíticos de números han contribuido.

Answer 3

El artículo arxiv:1008.2381 contiene una afirmación sobre la brecha de primos

p_(n+1) - p_n = O(log^2(p_n)/loglog(p_n)),

asumiendo la hipótesis de Riemann.