¿Por qué es útil para el estudio de vector haces?

Question

Tengo esta pregunta viene de una anterior Qiaochu del post. Algunas de las respuestas, sobre todo David Lehavi uno, el dibujo de la analogía que haces y las variedades frente a los módulos y anillos. Así que me pregunto, ¿hay alguna razón por qué el estudio de paquetes dar información acerca de las variedades? (Supongo que para este asunto, yo en realidad debería reemplazar las variedades por los colectores?)

He oído hablar de algunas constantes, como el grupo de Picard para los complejos colectores. Pero dada mi inexperiencia en estos conceptos, realmente no sé por qué debería ser importante. Así que para aquellos que están pensando en "cocinar invariantes", algunas explicaciones más detalladas sobre por qué son útiles (y con suerte algunos ejemplos elementales!) sería apreciada. Gracias!

Answer 1

Otro ejemplo donde los paquetes son forzados a ustedes es que si se quiere diferenciar de una función en un colector. (Esto puede ser un caso especial de una de las observaciones anteriores-escribo como un no-experto). Si usted diferenciar una verdadera función con valores en R^n de obtener una función que toma valores en R^n: si usted diferenciar los verdaderos valores de la función en un n-dimensional colector, a continuación, toma los valores de la tangente de paquete. Esto realmente no se explica por qué son un concepto poderoso, pero al menos muestra que ellos son de origen natural.

Answer 2

Aunque no es una respuesta completa a la pregunta, permítanme señalar que el vector haces a veces son forzados a usted.

Por ejemplo, usted puede comenzar con un honesto de la función $f$ definidas en un colector $M$ en el que un grupo $G$ actos. Supongamos por simplicidad que $G$ actúa de tal manera que el cociente de $M/G$ es un colector. Si la función se invariantes bajo el grupo, la definición de un honesto de la función en el cociente. Pero si la función es "casi" invariantes, dicen $$f(g^{-1} x) = \alpha(g) f(x)$$ por $g\in G$ y $x \in M$ y que $\alpha$ es algún personaje de $G$, entonces $f$ sólo define una sección de un (homogénea) de la línea de bulto en el cociente.

Más generalmente, si $f: M \a V$, donde $\rho: G \a \mathrm{GL}(V)$ es una representación de $G$, y suponiendo que $$f(g^{-1} x) = \rho(g) f(x)$$ a continuación, en el cociente $M/G$, $f$ define una sección de un (homogéneo) vector paquete.

Otro caso es cuando se tiene una familia de endomorfismo $\phi(x) \in \mathrm{End}(V)$ de un valor fijo de espacio vectorial $V$, parametrizada por un colector $M$. Entonces el núcleo de $\phi(x)$ es un subespacio vectorial de $V$, y suponiendo que su dimensión no varía con el valor de $x$, definir un vector paquete de más de $M$.

También son interesantes los invariantes que requieren de uno a considerar el vector de paquetes. Por ejemplo, topológica de la K-teoría, que es el escenario natural para el índice teorema, es una teoría de vector de paquetes.

Finalmente, el vector de paquetes son esenciales para la teoría de gauge que a su vez han proporcionado muy útiles los resultados de la topología: Donaldson, los primeros trabajos en la década de los 80 en la topología de 4-variedades, Seiberg-Witten teoría a mediados de la década de 1990,...

Answer 3

Siguiente Gowers respuesta (que es lo que me gustaría haber escrito) y Siu la respuesta, me parece que un tema común en la investigación matemática de los últimos, digamos, 50 años es algo como lo siguiente:

1) Extraer a partir de ejemplos de la definición de una matemática abstracta del objeto (Riemann superficies algebraicas de variedades, vector de paquetes, etc.)

2) Definir el conjunto o espacio de todos los objetos abstractos y buscar algún tipo de estructura, generalmente algebraicas y topológicas, que existe naturalmente en este espacio. Si es necesario, imponer una condición de equivalencia (homeomórficos, homotópica, homóloga)

3) Mediante el análisis y la clasificación de dichos espacios (que puede depender de parámetros), desarrollar nuevos conocimientos en los ejemplos originales que originalmente llevaron a la definición abstracta.

Así que, volviendo a vector de paquetes, una vez que usted tiene una teoría para clasificar y diferenciar los distintos tipos de vector de paquetes, se puede aplicar de forma natural definido paquetes de más de colectores o variedades y obtener nuevos resultados en clasificar y diferenciar los distintos tipos de espacios.

Vector de paquetes son particularmente atractivos, porque representan "alineaciones" de la estructura no lineal de colectores y variedades. Así que ellos son, en muchos aspectos mucho más fácil de trabajar que la base de los espacios.

Answer 4

Aquí están algunas de las motivaciones desde el punto de vista geométrico de cuantización. En esta teoría, por lo general se considera que el vector de paquetes a través de una simpléctica colector. El simpléctica colector representa el espacio de estado de un "clásico sistema mecánico", por ejemplo, en el caso de una partícula que se mueve en una línea, el simpléctica colector es de R^2 el espacio de la partícula de posiciones y de los impulsos.

Las ecuaciones de movimiento en mecánica clásica (las ecuaciones de Hamilton) son, en general, no lineal en el espacio de estado de coordenadas, ya que se obtienen a partir de los corchetes de Poisson. La versión cuántica de este problema considera la línea de paquetes sobre el "clásico" simpléctica espacio. Las secciones de estos paquetes representan la partícula "funciones de onda". En la mecánica cuántica, las ecuaciones de movimientos lineales (El shrodinger ecuación). Este "linealización" se logra mediante el trabajo en la línea de bulto que tiene intrínsecamente lineal de la estructura, y la inducida por la evolución de los operadores de actuar de forma lineal en el espacio de las secciones.

Muchas de las propiedades de la línea de paquetes tiene importancia aquí también. Por ejemplo, la proyectiva espacio en el que las secciones de la línea de paquete de definir una incrustación es sólo el proyectiva mecánica cuántica el espacio de Hilbert.

La generalización a un vector paquete se utiliza para describir las partículas con "grados internos de libertad" como spin.

Análisis armónico sobre el vector de paquetes se utiliza en el espectro de problemas de la mecánica cuántica caso.

Answer 5

Así, en la geometría algebraica, aquí hay un par de razones:

1) Subvariedades: Tomar un vector paquete, mira una sección, donde es cero? Un montón de subvariedades se muestran de esta manera (no todos, ver a esta pregunta) pero en general, podemos obtener gran cantidad de información de vector de paquetes sobre subvariedades.

2) los Invariantes de los espacios: El grupo de Picard de la Línea de paquetes, y más en general, el grupo de Grothendieck/anillo es una útil invariante para la diferenciación de los espacios y el análisis de la geometría de forma indirecta. La fluidez de los espacios, de hecho, los complejos de vector de paquetes puede ser usado para reemplazar coherente poleas completo (creo que por el Teorema de Sicigias).

3) de los Mapas en Proyectiva del Espacio: Esta es la línea de paquete específico. Deje que $V\to\mathbb{P}^n$ ser cualquier involucración con, digamos, a continuación, el retroceso de $\mathcal{S}(1)$ es una línea de paquete en $V$. Lo bueno es que el global de las secciones de esta línea de paquete determinan y son determinados por el mapa (se puede obtener degenerados asignaciones por tomar subespacios, pero vamos a ignorar que, de base y de los loci por el momento). Resulta que podemos definir una línea de lote a ser amplio, una condición justo en el paquete, y eso basta para decir que un poder se da un morfismos a $\mathbb{P}^n$, por lo que la comprensión de los mapas en proyectiva del espacio es la misma cosa como el estudio amplio de la línea de paquetes en una variedad.

Espero que ayude, hay muchas más, pero esas son las tres primeras cosas que me vino a la mente.