tratando de verificar pdf para distancia entre puntos normalmente distribuidos

Question

Gente de matemáticas:

Intento hallar la función de densidad de probabilidad para la distancia entre dos puntos en $\mathbb{R}^3$ seleccionados de forma independiente según la pdf gaussiana $F(\mathbf{z}) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3 \exp(-\frac{1}{2}|\mathbf{z}|^2)$ . Sigo recibiendo $f(t) = \frac{t^2\exp(-\frac{t^2}{4})}{2\sqrt{\pi}}$ . He encontrado un documento ( http://www.pupr.edu/hkettani/papers/HICS2008.pdf ) que, si no he entendido mal, establece que el pdf real es $\sqrt{\frac{2}{\pi}} t^2\exp(-\frac{t^2}{2})$ (véase p. 10, segundo " $f(x)$ "). En realidad, ese artículo demuestra un resultado mucho más general y lo presenta como un caso especial. Soy reacio a creer en su palabra, ya que sólo he utilizado técnicas de Calc 3 y sus argumentos son mucho más sofisticados y difíciles. ¿Alguien ha visto este problema antes, quizás como ejercicio de cálculo o de probabilidad? Suponiendo que su fórmula o la mía sean correctas, ¿hay alguna forma fácil de comprobar experimentalmente cuál es la correcta (generando vectores aleatorios, etc.)?

Stefan (STack Exchange FAN)

Answer 1

El cuadrado de la distancia es $r^2=(X_1-X_2)^2+(Y_1-Y_2)^2+(Z_1-Z_2)^2$ donde el $X_i$ s, $Y_i$ s, y $Z_i$ s son v.a.r. normales estándar independientes. Por lo tanto, $r^2/2$ es $\chi^2$ distribuido con $3$ grados de libertad, y como usted dice, la distancia $r$ tiene densidad $r^2\exp(-\frac{r^2}{4})/(2\sqrt{\pi}).$ p. 10 del artículo que mencionas trata un caso diferente, en el que cada componente de la diferencia entre los dos puntos es normal estándar.