¿Cómo encontró Gauss las unidades del campo cúbico $Q[n^{1/3}]$ ?

Question

Hace poco leí en jstor el artículo " Gauss y el desarrollo temprano de los números algebraicos ", que ofrece una buena descripción de la génesis de las ideas de Gauss sobre los fundamentos de la teoría algebraica de números. Entre otras informaciones útiles, menciona una cierta forma cúbica ternaria que Gauss estudió en 1808 en relación con sus intentos de comprender los principios subyacentes de las leyes de reciprocidad superiores (reciprocidad cúbica en este caso).

La forma particular es: $$F(x,y,z) = x^3 + ny^3 + n^2z^3 - 3nxyz$$ y Gauss intentaron encontrar soluciones (racionales) a la ecuación diofantina $F(x,y,z) = 1$ . Como explica el artículo, esta forma particular surge como la norma del número $x+vy+v^2z$ (donde $v = n^{1/3}$ ) en el campo cúbico puro creado por la adyacencia de $v$ el campo de los racionales. Como Gauss quería saber dónde esta expresión es igual a 1, esta investigación puede interpretarse como un intento de encontrar las unidades (números de norma 1) en este campo cúbico. Gauss que registró las unidades para ciertos valores de n, y en algunos casos expuso la unidad fundamental.

No he encontrado suficiente información sobre esta investigación de Gauss. Así que ahora, a mis preguntas:

• ¿Cuál era el procedimiento de Gauss ? y ¿cómo se relaciona con otras investigaciones de Gauss en teoría algebraica de números?

• ¿Se relaciona en algunos aspectos con el teorema de la unidad de Dirichlet ? Lo pregunto porque este artículo dice que la investigación de Gauss fue "un paso en la progresión de Lagrange a Dirichlet, este último desarrolló en 1842-46 la teoría general de las unidades algebraicas...".

Answer 1

Todo lo que sabemos es la entrada 137 de su diario, donde anuncia el 23 de diciembre de 1808 que ha comenzado a estudiar la teoría de las formas cúbicas, así como la solución de la ecuación $$x^3 + ny^3 + n^2z^3 - 3nxyz = 1;$$ además hay fragmentos en sus papeles que contienen la tabla con las soluciones, que están impresos en sus Obras Completas. Dado que Gauss no publicó nada sobre las formas cúbicas, esto no está relacionado con su otro trabajo, excepto que es una generalización de su teoría de las formas cuadráticas binarias en la Sección V de sus Disquisitiones.

Por supuesto la resolubilidad de la ecuación anterior así como el hecho de que cada solución surge (hasta el signo) tomando potencias de una solución fundamental es un caso especial del teorema de la unidad de Dirichlet.