Varios tipos de derivados

Question

Deje $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser una función medible. Vamos a presentar las siguientes nociones de "derivados" de $f$.

1. Clásica derivados. La única función de $f'_c$ definido pointwise por el siguiente: $$\lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h}- f'_c(x)=0,\qquad \forall x \in \mathbb{R},$$ a condición de que el límite existe en todos los puntos.
2. $L^p$ derivados. Para una fija $p\in (1, \infty)$, la única función de $f'_p$ tal que $$\lim_{h\to 0} \int_{-\infty}^\infty \left\lvert \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_p(x)\right\rvert^p\, dx=0,$$ provided that $f\en L^p$ and that such a function $f'_p$ existe.
3. La distribución de derivados. La única distribución $f'_d$ tal que $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi'(x)\, dx=-\langle f'_d, \phi\rangle, \qquad \forall \phi \in C^\infty_0(\mathbb{R}),$$ siempre que $f$ define una distribución (por ejemplo, $f\in L^1_{\mathrm{loc}}$).

La vaga versión de mi pregunta es:

en qué medida son las definiciones mutuamente consistentes?

Más precisamente:

1. Supongamos que $f'_c$ existe (en todos los puntos) y $f'_c \in L^p$. Es cierto que $f'_p$ existe y $f'_c=f'_p$?
2. Supongamos que $f$ define una distribución, que $f'_c$ existe en todos los puntos y que $f'_c$ define una distribución. Es cierto que $f'_d=f'_c$?
3. Supongamos que $f'_p$ existe. Es cierto que $f'_p=f'_d$?
4. Supongamos que $f'_d$ es una función continua. Es cierto que $f'_c$ existe y $f'_c=f'_d$?
5. (Sugerido por Tomasz en los comentarios) Supongamos que $f'_d\in L^p$. Es cierto que $f'_p$ existe y que $f'_p=f'_d$?

P. S.: algo de información sobre este tema, y especialmente en la pregunta 3, se puede encontrar en el libro Una introducción a dispersivas no lineales de ecuaciones por F. Linares y G. Ponce, Springer Universitext. Look para el Ejercicio 1.9 en la página 21.

Answer 1

Vamos a empezar con algunos preliminares.

Para un localmente integrable función de $g$, vamos a $\iota_g$ denotar la distribución de $\varphi \mapsto \int g(x)\varphi(x)\,dx$ (cuando queremos distinguir entre la función y la inducida por la distribución, de lo contrario, también nos indican la distribución de la con $g$). Deje $D$ ser la distribución operador de la derivada, es decir,$DT[\varphi] = -T[\varphi']$. Para una función integrable $h$, vamos a $I(h) = \int_{-\infty}^\infty h(x)\,dx$. Deje $u$ ser su favorito de la prueba de función integral a $1$. Entonces podemos escribir cada una de las pruebas de función $\varphi$ $\varphi = I(\varphi)\cdot u + \eta'$ donde $\eta(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t) - I(\varphi)u(t)\,dt$. Tenemos la

Lema: Si $T$ es una distribución tal que $DT = \iota_g$ para un localmente integrable función de $g$, $T = \iota_{G+c}$ donde $G(x) = \int_0^x g(t)\,dt$ $c$ es una constante adecuada.

Prueba: $G$ es un continuo (absolutamente continua, incluso) de la función; su distribución derivada es $\iota_g$:

$$\begin{align} D\iota_G[\varphi] &= - \int_{-\infty}^\infty G(x)\varphi'(x)\,dx\\ &= -\int_0^\infty \left(\int_0^xg(t)\,dt\right) \varphi'(x)\,dx + \int_{-\infty}^0 \left(\int_x^0g(t)\,dt\right) \varphi'(x)\,dx\\ &= \int_0^\infty \left(\int_t^\infty (-\varphi'(x))\,dx\right) g(t)\,dt + \int_{-\infty}^0 \left(\int_{-\infty}^t \varphi'(x)\,dx\right) g(t)\,dt\\ &= \int_0^\infty\varphi(t)g(t)\,dt + \int_{-\infty}^0 \varphi(t)g(t)\,dt\\ &= \iota_g[\varphi]. \end{align}$$

Deje $c := T[u] - \iota_G[u]$. A continuación,$T = \iota_{G+c}$:

$$\begin{align} \iota_{G+c}[\varphi] &= \iota_{G+c}[I(\varphi)\cdot u + \eta']\\ &= I(\varphi)\iota_{G+c}[u] - D\iota_{G+c}[\eta]\\ &= I(\varphi)(\iota_G[u] + c) - \iota_g[\eta]\\ &= I(\varphi)T[u] - DT[\eta]\\ &= I(\varphi)T[u] + T[\eta']\\ &= T[I(\varphi)\cdot u + \eta']\\ &= T[\varphi]. \end{align}$$

Junto con el hecho de que para un localmente integrable función de $g$ tenemos $\iota_g = 0 \iff g = 0\: [\text{a.e.}]$, lo que nos dará una forma más fuerte de los 4. y es también útil en la 2. y 5.

1. Tenemos algo más fuerte resultado que basta con que $f'_c$ existe en casi todas partes y $f$ ser absolutamente continuas. La prueba de tomasz dio cubre esa situación.

2. Ver la primera parte de la prueba del lema. La integral de $f_c'$ ha distributivos derivados $\iota_{f_c'}$. Pero bajo la hipótesis de que la $f_c'$ existe en todas partes, $f$ es la integral de la $f_c'$ (además de una constante), por lo $f_c' = f_d'$.

3. También, es cierto. Deje $\displaystyle q_h(f)(x) =\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La suposición es que el$q_h(f) \to f_p'$$L^p$, pero, a continuación,$q_h(f) \to f_p'$$\mathscr{D}'$. Pero $q_h(f) \to Df$$\mathscr{D}'$, lo $\iota_{f_p'} =D\iota_f$. También podemos ver que sin teoría: $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f_p'(x)\varphi(x)\,dx &= \lim_{h\to 0} \int_{-\infty}^\infty q_h(f)(x)\varphi(x)\,dx\qquad \left(\varphi \in L^q\right)\\ &= \lim_{h\to 0} \frac1h \int_{-\infty}^\infty \left(f(x+h) - f(x)\right)\varphi(x)\,dx\\ &= \lim_{h\to 0} \frac1h \int_{-\infty}^\infty f(x)\left(\varphi(x-h) - \varphi(x) \right)\,dx\\ &= \lim_{h\to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x) \frac{\varphi(x-h)-\varphi(x)}{h}\,dx\\ &= - \int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi'(x)\,dx\qquad \left(q_{-h}(\varphi) \to \varphi' \text{ in } L^q\right) \end{align}$$

4. Por el lema, si $f_d'$ es localmente integrable, entonces $f$ es (casi en todas partes) la integral de $f_d'$ (además de una constante), por lo $f$ es diferenciable, al menos, en todos los puntos de Lebesgue de $f_d'$ $f_c'(x) = f_d'(x)$ no. Si $f$ $f_d'$ son continuas, entonces $f$ está en todas partes derivable con derivada $f_c' = f_d'$.

5. De curso $f_d' \in L^p$ no implica que $f\in L^p$, por lo que debe ser una suposición. Pero si $f \in L^p$$f_d' \in L^p$, a continuación, 4., $f$ es - posiblemente después de la modificación en un conjunto null - la integral de $f_d'$ $f$ es casi en todas partes diferenciables, por lo que la versión más general del punto 1. los rendimientos que $f_p'$ existe y es igual a $f_c' = f_d'$.

Answer 2

Respuesta parcial:

1. es cierto: $$\begin{multline} \int_{\bf R} \left\lvert \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_c(x)\right\rvert^p\, dx\leq\frac{1}{h}\int_{\bf R}\int_0^h \left\lvert f'_c(x+t)-f'_c(x)\right\rvert^p\,dt \, dx=\\ =\frac{1}{h}\int_0^h\int_{\bf R} \left\lvert f'_c(x+t)-f'_c(x)\right\rvert^p\,dx \, dt \end{multline}$$ Y la última expresión tiende a cero, como se $h\to 0$ (debido a que las traducciones son continuas en a $L^p$).
2. es cierto, esta es una simple aplicación de la regla del producto y el teorema fundamental del cálculo. Es aplicable, debido a que una función derivable en todas partes con integrable derivada es absolutamente continua.
3. Realmente no lo sé.
4. es cierto (hasta una modificación de una medida de ajuste a cero). Considere la posibilidad de $g(x)=\int_0^x f'_d$. A continuación, $g$ $C^1$ función, y $f'_d$ es su clásico derivado y, por tanto, es también su distribución de derivados, por lo $f-g$ ha débil derivado de cero, por lo que debe ser constante (hasta un conjunto de medida cero), por lo $f$ $C^1$ función a un conjunto de medida $0$.