DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Esto es probablemente demasiado elemental y no he dedicado mucho tiempo a pensar en ello (como debería).
Pregunta
¿Cuál es un ejemplo sencillo de distribución $(p_1,p_2,\ldots,p_n,\ldots)$ en números naturales +ve (lo que significa que $p_n \ge 0\;\forall n =1,2,\ldots$ y $\sum_{n=1}^\infty p_n = 1$ ) que satisfagan simultáneamente
- momento finito-segundo: $\sum_{n=1}^\infty n^2 p_n < \infty$
- raíz cuadrada divergente de probabilidades: $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{p_n} = \infty$ ?
Editar
El usuario Stephan Lafon ha dado una prueba realmente sencilla que merece ser ampliada. De hecho, se puede demostrar una afirmación más contundente.
Para cualquier $\alpha \in (1, \infty)$ no hay distribución $p:=(p_1,\ldots,p_n,\ldots)$ con fintita $\alpha$ -tal que $\sum_n p_n^{1/\alpha} = \infty$ .
Prueba. Sea $\beta := \alpha / (\alpha-1) > 1$ sea el conjugado armónico de $\alpha$ . Definir las funciones $f,g: \{1,2,\ldots\} \rightarrow \mathbb R_+$ por $f(n) := 1/n$ y $g(n) := np_n^{1/\alpha}$ . Si $\sum_n n^\alpha p_n < \infty$ entonces se calcula $$ \begin{split} \sum_n p_n^{1/\alpha} &= \sum_n (1/n) np^{1/\alpha} = \langle f, g\rangle \overset{\text{Cauchy-Schwarz}}{\le}\|f\|_\beta\|g\|_\alpha = \left(\sum_n 1/n^\beta\right)^{1/\beta}\left(\sum_n n^\alpha p_n\right)^{1/\alpha}\\ &= \zeta(\beta)^{1/\beta}\left(\sum_n n^\alpha p_n\right)^{1/\alpha} < \infty. \end{split} $$
