$$f(x)=\sqrt{\frac{n}{n+1}}$$
Por alguna razón, estoy atascado calculando este límite. No puedo encontrarlo directamente ni obtener nada de la regla de L'Hopital. Por favor, ayuda.
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Jose Antonio
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Desde $n/(n+1)=1-1/(n+1)$ por inducción podemos demostrar que $(1-1/(n+1))^K\rightarrow1$ para $K\in \mathbb{N}$ (¿por qué?). Dejemos que $K\in \mathbb{N}$ tal que $K>1/2$ . Entonces:
$$(1-1/{(n+1)})^{K}\le(1-1/{(n+1)})^{1/2}\le1$$
Así pues, por el teorema de squeeze tenemos $(1-1/{(n+1)})^{1/2} \rightarrow 1$ .
Suponiendo errores tipográficos, reescribo la función $$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$$ y vamos a ver qué pasa cuando $x$ se hace muy grande. Instintivamente, se podría decir que para un valor muy grande de $x$ , $x+1$ no difiere de $x$ por lo que, básicamente, su función se comporta como $$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x}}=1$$ Una forma más rigurosa consistiría en escribir $x+1=x(1+\frac{1}{x})$ y luego, sin alterar nada $$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\sqrt{\frac{x}{x \left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\sqrt{\frac{1}{ 1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$$ y llegar a las mismas conclusiones. Si es más exigente, puede utilizar el hecho de que, para valores marginales de $y$ , $(1+y)^n$ es casi $(1+ny)$ . A continuación, sustituya $y$ por $1/x$ y $n$ por $-1/2$ para llegar a $(1-\frac{1}{2 x})$ que, por cierto, es el inicio de la serie de Taylor, ya que para valores grandes de $x$ la función se aproxima mediante $$ 1-\frac{1}{2 x}+\frac{3}{8 x^2}-\frac{5}{16 x^3}+\frac{35}{128 x^4}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^5\right)$$
