Utilice la propiedad para demostrar que si $f_n \rightarrow f$ en medida sobre conjunto de medidas finito $E$ entonces $f_n^2 \rightarrow f^2$ a medida en $E$ .

Question

Considere el siguiente problema:

Sea $E$ tienen medida finita, $\{f_n\} \rightarrow f$ a medida en $E$ y $g$ sea una función medible en $E$ que es finito en casi todas partes. Utilice el hecho de que $\{f_n \cdot g\} \rightarrow f_n \cdot g$ para demostrar que $\{f_n^2 \} \rightarrow f^2$ a medida en $E$ . Inferir de esto que si $\{g_n\} \rightarrow g$ a medida en $E$ entonces $\{f_n \cdot g_n \} \rightarrow f \cdot g$ a medida en $E$ .

Me cuesta entender cómo puedo aplicar el hecho de que $\{f_n \cdot g\} \rightarrow f_n \cdot g$ en medida de demostrar que $\{f_n^2 \} \rightarrow f^2$ en medida. He sido capaz de llegar a una prueba del hecho de que si $\{g_n\} \rightarrow g$ en medida entonces $\{f_n \cdot g_n \} \rightarrow f \cdot g$ en medida, y esto implica claramente la afirmación de que $\{f_n^2 \} \rightarrow f^2$ en medida. Desafortunadamente mi prueba no se basa en el hecho de que $\{f_n \cdot g\} \rightarrow f_n \cdot g$ por lo que no responde al problema ya que nos pide explícitamente que lo demostremos de una determinada manera.

Hasta ahora mi mejor intento de utilizar el hecho es el siguiente. Sea $\eta > 0$ entonces por desigualdad triangular y monotonicidad de medida

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty}\mu\left\{ \left|f_n^2 - f^2\right| > \eta \right\} &\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\mu \left\{\left|f_n - f\right|\cdot \left|f_n\right| + \left|f_n - f\right| \cdot \left|f\right| > \eta \right\} \\ &\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\mu\left\{\left|f_n - f\right|\cdot \left|f_n\right| > \eta/2 \right\} + \lim_{n\rightarrow \infty}\mu\left\{\left|f_n - f\right| \cdot \left|f\right| > \eta/2 \right\} \end{align*}

Por el hecho de que $\{f_n \cdot f\} \rightarrow f \cdot f$ en medida \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty}\mu\left\{\left|f_n - f\right| \cdot \left|f\right| > \eta/2 \right\} = \mu\left\{\left|f_n \cdot f - f\cdot f\right| > \eta/2 \right\} = 0. \end{equation*} No veo cómo tratar el otro límite sin probar primero la afirmación más general $\{f_n \cdot g_n \} \rightarrow f \cdot g$ en medida.

Cualquier ayuda o consejo es muy apreciado.

Answer 1

Para fijos $M>0$ tenemos claramente

$$\begin{align*} \mu(|f_n-f| \cdot |f_n| > \eta/2) &\leq \mu(|f_n-f| \cdot |f_n|>\eta/2, |f_n| \leq M) \\ &\quad + \mu(|f_n-f| \cdot |f_n|>\eta/2, |f_n| > M), \end{align*}$$

y así

$$\mu(|f_n-f| \cdot |f_n| > \eta/2) \leq \mu(|f_n-f| >\eta/(2M)) + \mu(|f_n| > M). \tag{1}$$

En $f_n \to f$ en medida, el primer término del lado derecho converge a $0$ como $n \to \infty$ . Para la segunda, observamos que

$$\begin{align*} \mu(|f_n|>M) &= \mu(|f_n-f| < \eta, |f_n|>M) + \mu(|f_n-f|\geq \eta, |f_n|>M) \\ &\leq \mu(|f| \geq M-\eta) + \mu(|f_n-f| \geq \eta). \end{align*}$$

Si dejamos que $n \to \infty$ entonces $\mu(|f_n-f| \geq \eta) \to 0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto,

$$\limsup_{n \to\infty} \mu(|f_n| >M) \leq \mu(|f| \geq M-\eta),$$

y, por tanto, por (1),

$$\limsup_{n \to \infty} \mu(|f_n-f| \cdot |f_n| > \eta/2) \leq \mu(|f| \geq M-\eta).$$

Desde $\mu$ es una medida finita, sabemos que $\mu(|f| \geq M-\eta) \to 0$ como $M \to \infty$ por lo que concluimos que

$$\limsup_{n \to \infty} \mu(|f_n-f| \cdot |f_n| > \eta/2) = 0.$$