Intento encontrar el IFT de la siguiente función: $\hat{f}(\omega) = \frac{i\omega}{1+\omega^2}$ . Conozco la transformada de Laplace, así que enseguida pensé en buscar una inversa de $\hat{f}$ en $\cosh$ y luego hacer un cambio de variables. Conseguí llegar a $f(x) = \sqrt{2\pi} \cosh(x) \theta(x)$ donde $\theta$ es la función de Heaviside. Wolfram Alpha está de acuerdo en que la transformada de Fourier de esa $f$ es $\frac{i\omega}{1+\omega^2}$ . Sin embargo, cuando utilizo Wolfram Alpha para calcular $\hat{f}^{-1}$ Tengo a cambio $g(x) = -\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-x}[e^{2x}\theta(-x) - \theta(x)]$ . Ambas funciones, $f$ y $g$ no son lo mismo. ¿He hecho algo mal? ¿Es normal que una función tenga más de una inversa? En ese caso, si en un examen me pidieran hallar el IFT de una función, ¿serían ambas $f$ y $g$ sea correcta?
Respuestas
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Tradicionalmente, el operador de la transformada de Fourier se considera sobre el espacio de señales de energía finita, es decir, señales que tienen una integral cuadrada bien definida,
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)^2\,d\tau < \infty,$$
cociente de las señales que difieren en un conjunto de medida cero. Esto garantiza la convergencia de la integral de Fourier para producir la correspondiente transformada $\hat{f}.$ La transformada de Fourier (continua) es unívoca y onto en este espacio de señales. Por lo que recuerdo, se pueden relajar un poco estas condiciones, pero no hasta el punto de su $f.$ Su señal $f$ crece sin límites en el eje imaginario en orden exponencial. La integral de Fourier,
$$\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\,e^{i\omega x}\,dx$$
simplemente no converge para valores reales de $\omega.$ Verifícalo,
$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{i\omega x}\,dx &=\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2\pi} \cosh(x)\, \theta(x)\, e^{i\omega x}\,dx\\ &=\sqrt{2\pi} \int_{0}^{\infty} \cosh(x)\, e^{i\omega x}\,dx\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\infty} \left[ e^{x} + e^{-x}\right] e^{i\omega x}\,dx \end{aligned}$$ El segundo término convergerá a un valor finito, pero el primer término crece sin límites dentro de la integral; la integral sobre $\mathbb{R}$ no será finito para ningún $\omega.$
Compáralo con la transformada de Laplace de tu señal,
$$\hat{f}(s) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\,e^{-s x}\,dx$$
que sí converge pero para $\mathfrak{Re}\{s\} > 1.$ Es decir, el dominio de convergencia de la transformada de Laplace no contiene el eje imaginario. De ello se deduce que la transformada de Fourier de $f(x)$ no está bien definido y no existe.
Lo que Wolfram Alpha calcula es la señal cuadrada-integrable que hace tienen esa transformación correspondiente. La función $g(x)$ decae tanto en el negativo $x$ y en la dirección positiva $x$ dirección de forma exponencial. Primero reescribimos $g$ como,
$$g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,e^{x} & \mathrm{if } x < 0,\\ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,e^{-x} & \mathrm{if } x > 0, \end{array}\right. $$
donde dejo fuera el punto en $x=0$ porque simplemente no importará para esta discusión. Observe que $g(-x) = -g(x).$ Por lo tanto, podemos reducir la integral de Fourier de $g$ a,
$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,e^{i\omega x}\,dx &= \int_{-\infty}^{0} g(x)\,e^{i\omega x}\,dx + \int_{0}^{\infty} g(x)\,e^{i\omega x}\,dx\\ &= \int_{0}^{\infty} -g(x)\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^{\infty} g(x)\,e^{i\omega x}\,dx\\ &= \int_{0}^{\infty} g(x)\left[e^{i\omega x} - e^{-i\omega x}\right]\,dx\\ &= 2 i \,\int_{0}^{\infty} g(x)\,\sin(\omega\,x)\,dx\\ \end{aligned}$$
Sustituyendo $g,$
$$\hat{g}(\omega) = 2 i \sqrt{\frac{\pi}{2}} \,\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,\sin(\omega\,x)\,dx $$
Si entrecierras los ojos lo suficiente, reconocerás esta integral como la transformada de Laplace de $\sin(\omega x)$ evaluado en un punto que resultará en la transformada correcta hasta un factor constante (el factor constante es porque no usé el multiplicador estándar en la Transformada de Fourier). Esta integral de Fourier converge para todos $\omega \in \mathbb{R}.$
En resumen, si desea utilizar transformaciones para su señal $f,$ tendrás que utilizar la transformada de Laplace para asegurarte de que puedes invertirla. Por supuesto, de nuevo tendrás que tener en cuenta la clase de señales de la que te ocupas. Presumiblemente, el uso de la función de paso heaviside sugiere que usted está preocupado con las señales de un solo lado, donde la transformada de Laplace de un solo lado tiene esa propiedad requerida que se puede avanzar e invertir y obtener un resultado único.
La transformada inversa de Fourier de $i\omega/(1+\omega^2)$ es $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\frac{i\omega}{1+\omega^2}d\omega. $$ Esto está bien definido porque $i\omega/(1+\omega^2)$ es cuadráticamente integrable en $\mathbb{R}$ lo que garantiza que la transformada de Fourier también es integrable al cuadrado. Esto puede descomponerse como $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\frac{1}{2}\left[\frac{i}{\omega-i}+\frac{i}{\omega+i}\right]d\omega $$ Si $x > 0$ entonces $e^{i\omega x}$ decae en el semiplano superior. Si $x < 0$ entonces $e^{i\omega x}$ decae en el semiplano inferior. Así, para $x > 0$ la anterior puede escribirse como límite de una integral de contorno cerrada en el semiplano superior, lo que nos permite evaluar la anterior como un residuo en $\omega=i$ y que viene dado por $$ \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{-x}. $$ Del mismo modo, si $x < 0$ entonces la integral puede estar cerrada en el semiplano inferior, lo que conduce a la evaluación negativa de una integral de contorno orientada positivamente en $\omega=-i$ : $$ - \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{x}. $$ Así que parece que la integral original se evalúa a $$ \mbox{sgn}(x)\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-|x|},\;\;\; -\infty < x < \infty,\; x\ne 0, $$ donde $\mbox{sgn}(x)$ es $1$ si $x > 0$ es $-1$ si $x < 0$ y es $0$ si $x=0$ . La integral original no converge absolutamente para $x=0$ pero converge a $0$ como una integral de valor de principio de Cauchy. Independientemente de los detalles en $x=0$ la transformada inversa está en $L^2(\mathbb{R})$ y todo va bien en ese sentido.
Verificación: La transformada de Fourier de nuestra función es $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega x}\mbox{sgn}(x)\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-|x|}dx \\ = -\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0}e^{-i\omega x}e^{x}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-i\omega x}e^{-x}dx \\ = -\frac{1}{2}\frac{1}{1-i\omega}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+i\omega} \\ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+i\omega}-\frac{1}{1-i\omega}\right]=\frac{-i\omega}{1+\omega^2} $$ ¡Uy! Estoy fuera por un signo. Dejaré que lo arregles.
