Grado de $x^{4}-4$ en $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$

Question

Necesito encontrar el grado del campo de división de $x^{4}-4$ en $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$ .

Sé que las raíces son $\pm\sqrt{2}, \pm \sqrt{2}i$ por lo que el campo de división es $F(\sqrt{2},i)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ y $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$ . Desde $i \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i): \mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2$ porque $x^{2}+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces por multiplicación de grados $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}] = 4$ ¿es correcto?

En el otro caso tenemos que $x^{4}-4 = (x^{2}-2)(x^{2}+2) = (x^{2}-2)(x^{2}-3)$ en $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$ las raíces son $\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{3}$ y el campo de corte sería $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ que es de grado 4.

No sé si lo que he hecho está bien.

Gracias

Answer 1

Correcto para el caso sobre ${\mathbb Q}$ .

El caso sobre ${\mathbb F}_5$ está mal. Si siguieras el mismo argumento que el de ${\mathbb Q}$ verías que una vez que unes un elemento $\alpha$ con $\alpha^2 = 2$ a ${\mathbb F}_5$ se obtiene automáticamente un elemento $\beta$ con $\beta^2 = 3$ (a saber $\beta = 2\alpha$ ).

(Nota: dado que hasta el isomorfismo sólo existe un campo de $25$ todo polinomio de grado 2 sobre ${\mathbb F}_5$ se divide necesariamente en ${\mathbb F}_{25}$ . Por eso se ve inmediatamente que ${\mathbb F}_5[\alpha]$ debe contener un $\beta$ con $\beta^2 = 3$ sin más cálculos),