Cómo $(\mathbb R,+)$ ¿es un grupo descomponible?

Question

Sabemos que $(\mathbb R\setminus \{0\},.)$ es descomponible ya que puede expresarse como producto directo interno de $\mathbb R^{+}$ y $\{-1,1\}$ . También he encontrado en alguna parte que $(\mathbb R,+)$ es descomponible. ¿Alguien puede explicar cómo demostrarlo? Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Podemos ver $\mathbb{R}$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ (así que usando racionales como escalares). Esto tiene una base (usando el axioma de elección, ¡no hay descripción explícita para tal base!) $B = \{x_i : i \in I \}$ que podemos dividir en subconjuntos linealmente independientes, digamos $B_1 = \{x_i: i \in I_1 \}$ y $B_2 = \{x_i: i \in I_2\}$ . Entonces $(\mathbb{R}, +)$ es una suma directa del tramo de $B_1$ y el alcance de $B_2$ .