Después de jugar con series de potencia $S_{n, p}=\sum_{k=0}^nk^p$ y encontrar una fórmula para cada potencia natural, intenté encontrar también fórmulas para la potencia imaginaria pero no pude averiguar cómo.
$S_n=\sum_{k=0}^nk^i$ donde $i=\sqrt{-1}$
Intenté expresar la serie utilizando cis y obtuve $S_n=\sum_{k=0}^ncis(ln(n))$ pero esto no me ayudó en absoluto. Cualquier sugerencia o respuesta completa será apreciada.
Por el Fórmula de Euler-Maclaurin ,
$$\sum_{k=1}^nk^i=\zeta(-i)+\frac{n^{i+1}}{i+1}+\frac{n^i}2+\frac{in^{i-1}}{12}-\frac{i(i-1)(i-2)n^{i-3}}{720}+\mathcal O(n^{i-5})$$
no se trata de una fórmula exacta, sino de una aproximación al problema, donde $\zeta(-i)\approx0.0033002237+0.4181554491i$ es el Función zeta de Riemann . Se dan algunos valores para mostrar cómo se aproxima:
$$\begin{array}{c|c}n&\sum&\zeta\\\hline1&1&0.49913+0.00010i\\2&1.76924+0.63896i&1.38459+0.31946i\\3&2.22407+1.52954i&1.99665+1.08425i\end{array}$$
Vale, no es tan bueno para valores pequeños, pero mejora.
$$\begin{array}{c|c}n&\sum&\zeta\\\hline10&0.41898+7.84548i&0.37600+7.47349i\\20&-8.93237+11.8340i&-8.43768+11.76128i\\30&-18.82708+10.93402i&-18.34384+11.06237i\end{array}$$
Como puede ver, la precisión aumenta a medida que $n\to\infty$ .
Formas alternativas
$$\sum_{k=1}^nk^i=\zeta(-i)-\zeta(-i,n+1)=H_n^{(-i)}$$
donde $\zeta(s,q)$ es el Función zeta de Hurwitz y $H_n^{(p)}$ es el número armónico generalizado .
Se ha señalado que la pregunta del OP se refiere a la suma finita, por lo que mi respuesta no aborda la cuestión.
La suma $\sum^\infty_{k=1} k^{-s}$ es absolutamente convergente sólo cuando $\Re s>1$ . Así que la suma infinita $\sum^\infty k^i$ no converge. Sin embargo, en la región $\Re s>1$ la suma es analítica, por lo que admite una continuación única a un dominio maximal en el dominio complejo. Esta continuación se llama Función zeta de Riemann y su valor en -i está en cierto sentido relacionado con la suma infinita $\sum^\infty k^i$ . Que es aproximadamente 0,0033 + 0,418 $i$ .
Por cierto, cuando $s$ es un número natural, la fórmula de la suma se llama Fórmula de Faulhaber .
$$ \sum_{k=1}^nk^s=\frac{1}{s+1}\sum_{j=0}^s(-1)^j{s+1\choose j}B_jn^{s+1-j} $$ donde $B_j$ es el $j$ th Número de Bernoulli . Esta fórmula no tiene sentido para valores de $s$ que no son números naturales.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
