Prueba $\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{3}\ge2\left(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}+\frac{\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\right)$

Question

Problema: Sea $a,b,c,d>0.$ Demuéstralo: $$\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{3}\ge2\left(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}+\frac{\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\right)$$ Es el problema de mi antiguo profesor.

Mi intento: Supongo que a=b=c=d así que usando la desigualdad C-S: $$R.H.S\le2\sqrt{\frac{d}{a+b+c}+\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2}}$$ Pero parece débil para obtener la prueba. Espero que podamos encontrar una buena solución para el problema agradable.

Gracias.

Answer 1

Tenemos que demostrarlo: $$\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt3-\frac{2\sqrt{ab+ac+bc}}{a+b+c}\geq2\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}$$ y puesto que $$\sqrt3(a+b+c)\geq2\sqrt{ab+ac+bc},$$ por AM-GM obtenemos: $$\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt3-\frac{2\sqrt{ab+ac+bc}}{a+b+c}\geq2\sqrt{\frac{d\left(\sqrt3-\frac{2\sqrt{ab+ac+bc}}{a+b+c}\right)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}.$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que: $$\frac{\sqrt3-\frac{2\sqrt{ab+ac+bc}}{a+b+c}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq\frac{1}{a+b+c}.$$ Ahora, dejemos que $a^2+b^2+c^2=t(ab+ac+bc).$

Por lo tanto, tenemos que demostrar que: $$\frac{\sqrt3-\frac{2}{\sqrt{t+2}}}{\sqrt{t}}\geq\frac{1}{\sqrt{t+2}}$$ o $$\sqrt{3(t+2)}\geq2+\sqrt{t},$$ lo cual es cierto por C-S: $$\sqrt{3(t+2)}=\sqrt{(2+1)(2+t)}\geq2+\sqrt{t}.$$