¿Cuál es la forma más rápida de calcular el límite $\lim_{x\to 0^+}x\cosh^{-1}(x\sinh(\frac 1x))$

Question

Me gustaría calcular $$\lim_{x\to 0^+}x\cosh^{-1}(x\sinh(\frac 1x))$$

He utilizado la fórmula $$\cosh^{-1}(X)=\ln(X+\sqrt{X^2-1})$$ para cualquier $ X\ge 1$ pero no pude conseguir un equivalente sencillo. Cualquier ayuda o idea será apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando la definición de logaritmo de arccosh se obtiene $$\lim_{x \to 0^+} x\ln\left(x\sinh\left(\frac{1}{x}\right)+\sqrt{x^{2}\sinh^{2}\left(\frac{1}{x}\right)-1}\right)$$

O romper el $\ln$ esto equivale a $$\lim_{x \to 0^+} \left(x\ln\left(x\right)+x\ln\left(\sinh\left(\frac{1}{x}\right)\right)+x\ln\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}\sinh^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}}\right) \right)$$

Se puede hallar el límite de la primera parte aplicando la de L'Hopital con $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ para obtener $0$ . Para la tercera parte, realice la transformación $x \to \frac{1}{x}$ para obtener la expresión límite es igual a $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \sqrt{1-\left(\frac{x}{\sinh(x)}\right)^2} \right)}{x}$$

Esto es $0$ desde $\frac{x}{\sinh(x)} \to 0$ por lo que el numerador pasaría a $\ln(2)$ mientras que el denominador es $\infty$ .

De forma similar, también se puede hallar el límite de la segunda parte igual a $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( \sinh(x) \right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \coth(x) = 1$$

donde apliqué la regla de L'Hopital. Por lo tanto, el límite sería $$0 + 1 + 0 = 1$$