Grupos de unidades de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]$

Question

En la página 230 del Álgebra Abstracta de Dummit y Foote, dicen: las unidades de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]$ están determinados por los enteros $a,b$ con $a^2+ab+b^2=\pm1$ es decir, con $(2a+b)^2+3b^2=4$ de donde es fácil ver que el grupo de unidades es un grupo de orden $6$ dado por $\{\pm1,\pm\rho,\pm\rho^2\}$ donde $\rho=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ .

En primer lugar, ¿por qué cambiar la caracterización de la unidad de soluciones enteras de $a^2+ab+b^2=\pm1$ a las soluciones enteras de $(2a+b)^2+3b^2=4$ ? ¿Cómo han llegado a su respuesta?

Answer 1

La razón por la que puede querer cambiarlo de $a^2+ab+b^2=\pm 1$ a $(2a+b)^2+3b^2 = \pm 4$ es porque esta última es una suma de cuadrados, por lo que inmediatamente se reducen las posibilidades: por un lado, se puede saber que la respuesta debe ser $4$ y no $-4$ (suma de cuadrados), que debe tener $|2a+b|\leq 2$ et $3b^2\leq 4$ para que $b$ debe ser $0$ , $1$ o $-1$ etc. Mientras que en $a^2+ab+b^2 = \pm 1$ , $ab$ puede ser negativo, lo que hace que la búsqueda de soluciones sea algo más complicada. (No mucho, pero las cosas no se ven tan rápidamente).

Pasar de $a^2+ab+b^2 = \pm 1$ a $(2a+b)^2 + 3b^2=\pm 4$ multiplique por $4$ y completar el cuadrado: $$\begin{align*} a^2 + ab + b^2 &= \pm 1\\ 4a^2 + 4ab + 4b^2 &= \pm 4\\ (2a)^2 + 2(2a)b + b^2 +3b^2 &=\pm 4\\ (2a+b)^2 + 3b^2 &= \pm 4 \end{align*}$$ También se puede empezar por completar el cuadrado y luego despejar los denominadores: $$\begin{align*} a^2 + ab + b^2 &= \pm1\\ \left(a+\frac{1}{2}b\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 &=\pm 1\\ \left(2a+b\right)^2 + 3b^2 &=\pm 4. \end{align*}$$

Answer 2

Dejemos que $\omega=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ . Obsérvese que la norma de un elemento $a+b\omega$ en $\mathbb{Z}[\omega]$ es $$(a+b\omega)(a+b\overline{\omega})=a^2+ab+b^2.$$ Como la norma es multiplicativa, todas las unidades deben tener norma $1$ de lo contrario no serían invertibles. Esto significa que estamos buscando soluciones para $a^2+ab+b^2=1$ . (No puede ser $-1$ No sé por qué pones $\pm$ para todas estas cantidades).

Para la segunda parte, el autor probablemente encontró más agradable desplazar la forma cuadrática, ya que no necesitamos considerar diferentes casos. Aquí hay una forma directa: Para resolver $a^2+ab+b^2=1$ , dividido en función de si $ab$ negativo o no negativo.
Caso 1: Si $ab$ es no negativo, entonces $1=a^2+ab+b^2\geq a^2 +b^2$ Así que vemos que $a=\pm 1$ , $b=0$ et $a=0$ , $b=\pm 1$ son las únicas soluciones.
Caso 2: Si $ab$ es negativo, entonces tanto $a$ et $b$ no son cero, y entonces $1=a^2+ab+b^2=a^2+2ab+b^2-ab=(a+b)^2 -ab$ . Esto da entonces las únicas otras soluciones, $a=1=-b$ y $b=1=-a$ .