Dado un polinomio $f(z)\in\mathbb{C}[z]$ , $\exists$ sólo finitamente muchos $c$ s.t. $f(z)-c=0$ ¿tiene raíces repetidas? ¿Es cierto lo anterior en general? ¿Es cierto para polinomios de la forma $f(z) = (z-z_1)\cdot ... \cdot (z - z_n)$ donde $z_1, ... , z_n \in \mathbb{C}$ ¿son distintos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
Puntos
171160
Una raíz múltiple de $f(z)-c$ es al mismo tiempo una raíz de $f'(z)$ . Como el polinomio $f'$ sólo tiene un número finito de raíces, la afirmación se cumple. El único caso especial es cuando $f'\equiv 0$ y de hecho entonces $f$ es constante y para un valor específico de $c$ tiene raíces en absoluto.
Un polinomio tiene raíces repetidas si su discriminante es cero. El discriminante es un polinomio en sus coeficientes. Por tanto, el discriminante de $f(z)-c$ es un polinomio, digamos $D(c)$ , en $c$ . O bien $D(c)$ tiene un número finito de ceros, que es lo que queremos, o es idénticamente cero. En ese caso $f(z)=c$ ha repetido raíz para todos $c$ . Pero eso falso. Si $f(z)$ tiene término principal $z^n$ entonces cuando $|c|$ es grande, las raíces de $f(z)=c$ se aproximan a las de $z^n=c$ que son distintos.
