En el caso a=1,b=-1 thi $$ dx=y $$ $$ dy=-x + x^3$$ Tengo que dibujar el espacio de fases con las trayectorias de las órbitas. Y no sé que demostrar la dirección en las órbitas. Sólo sé es un círculo para la $(0,0)$ e hipérbola para $(-1,0),(1,0)$ .
Respuestas
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Para el punto crítico en $(0, 0)$ basta con evaluar el sistema dinámico cerca del origen. Por ejemplo, tomemos $x = 0.1$ y $y = 0$ , se ve que en ese lugar ${\rm d y}/{\rm d}t < 0$ lo que significa que en ese lugar $y$ irá disminuyendo. En otras palabras, la órbita que atraviesa $(0.1, 0)$ girará en el sentido de las agujas del reloj. El mismo argumento puede aplicarse a los demás puntos críticos.
He aquí un croquis para confirmarlo
Charalampos Filippatos
Puntos
859
Formar el jacobiano del sistema : $$J(x,y) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 + 3x^2 & 0\end{bmatrix}$$ Para el origen $O(0,0)$ que es un punto crítico para el sistema dado, es : $$J(0,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$ Entonces, los valores propios del jacobiano dado para el origen : $$\det(J(0,0) -\lambda I) = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} - \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda = \pm i$$ Esto garantiza realmente que el origen $O(0,0)$ es un centro para el sistema dado y en el sentido de las agujas del reloj. Ahora, también tienes los puntos críticos $A(-1,0)$ y $B(1,0)$ . Para $A$ el jacobiano es $$J(-1,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$ con valores propios : $$\det(J(-1,0) -\lambda I) = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} - \lambda & 1 \\ 2 & -\lambda\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 -2 = 0 \Leftrightarrow \lambda = \pm \sqrt{2}$$ Desde $\lambda_1 \cdot \lambda _2 < 0$ y los valores propios son puramente reales, el punto crítico $A$ será entonces una silla de montar para el sistema, que por teoría es inestable, por lo que las flechas apuntan hacia otro lado.
Dejaré el caso de $B$ depende de ti.
andy.holmes
Puntos
518
Multiplique $$ \ddot x+x-x^3=0 $$ con $2\dot x$ e integrar para obtener $$ \dot x^2+x^2-\frac12x^4=R^2 $$ y parametrizarlo como una ecuación circular para obtener las coordenadas polares $$(R\cos \phi(t),R\sin(\phi))=\left(\dot x,x\sqrt{1-\frac12x^2}\right).$$ Cerca de $x=0$ la ecuación $u=f(x)=x\sqrt{1-\frac12x^2}$ en la segunda componente es monótona y puede invertirse como $$x=g(u)=g(R\sin(\phi))$$ con derivada temporal $$ \dot x = g'(R\sin(\phi))R\cos \phi(t)\,\dot\phi(t)\implies 0=\dot x=R\cos \phi(t)\text{ or }1=g'(R\sin(\phi))\dot\phi(t), $$ para que $$\dot\phi(t)=g'(R\sin(\phi))^{-1}=1+O(R^2).$$ Esto significa rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en un $(\dot x,x)$ diagrama o, reflejado en diagonal, rotación en el sentido de las agujas del reloj en un $(x,\dot x)$ diagrama.
