Sumas irracionales de Hardy y Wright

Question

Hace unos días, leí una prueba de Hardy y Wright diciendo que si $a_n$ es una secuencia entera y si

$$\lim_{n\to \infty}\frac n{a_n}=0$$

entonces

$$\sum_{n=0}^\infty10^{-a_n}$$

es irracional.

Lamentablemente, no puedo volver a encontrar la prueba. Si alguien conoce la prueba o sabe dónde encontrarla le estaría muy agradecido.

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una prueba que acabo de preparar.

Espectáculo:

Si $a_n$ es un valor positivo creciente de números enteros y $\dfrac{n}{a_n} \to 0 $ y $b \ge 2$ es un número entero entonces $S =\sum_{n=1}^{\infty} b^{-a_n} $ es irracional.

Primero, desde $a_n \ge n$ , $\sum_{n=1}^{\infty} b^{-a_n} $ converge.

Sea $S_m =\sum_{n=1}^{m} b^{-a_n} $ y $T_m =\sum_{n=m+1}^{\infty} b^{-a_n} $ .

$S_m =\sum_{n=1}^{m} b^{-a_n} =b^{-a_m}\sum_{n=1}^{m} b^{a_m-a_n} =\dfrac{\sum_{n=1}^{m} b^{a_m-a_n}}{b^{a_m}} =\dfrac{s_m}{b^{a_m}} $ .

$\begin{array}\\ T_m &=\sum_{n=m+1}^{\infty} b^{-a_n}\\ &=b^{-a_{m+1}}\sum_{n=m+1}^{\infty} b^{a_{m+1}-a_n}\\ &\le b^{-a_{m+1}}\sum_{n=m+1}^{\infty} b^{m+1-n}\\ &= b^{-a_{m+1}}\sum_{n=0}^{\infty} b^{-n}\\ &= \dfrac1{(1-1/b)b^{a_{m+1}}}\\ &\le \dfrac{2}{b^{a_{m+1}}}\\ \end{array} $

Por lo tanto

$\begin{array}\\ |S-S_m| &=|S-\dfrac{s_m}{b^{a_m}}|\\ &=T_m\\ &\le \dfrac{2}{b^{a_{m+1}}}\\ &= \dfrac{s_m}{b^{a_{m}}}\dfrac{2}{s_m(b^{a_{m+1}-a_m})}\\ &= S_m\dfrac{2}{s_m(b^{a_{m+1}-a_m})}\\ \end{array} $

Si $S$ es racional, entonces $b^{a_{m+1}-a_m} $ está limitada, así que $a_{m+1}-a_m $ está limitada.

Si $a_{m+1}-a_m \le c$ para algunos $c > 0$ , entonces $a_{m+k}-a_m \le ck$ o $a_{m+k} \le a_m+ck$ o $\dfrac{a_{m+k}}{m+k} \le \dfrac{a_m+ck}{m+k}$ o

$\begin{array}\\ \dfrac{m+k}{a_{m+k}} &\ge \dfrac{m+k}{a_m+ck}\\ &= \dfrac{m+k}{a_m+ck}-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\\ &= \dfrac{c(m+k)-(a_m+ck)}{a_m+ck}+\dfrac{1}{c}\\ &= \dfrac{cm-a_m}{a_m+ck}+\dfrac{1}{c}\\ &\ge \dfrac{1}{2c}\\ \end{array} $

para suficientemente grande $k$ que contradice $\dfrac{n}{a_n} \to 0$ .