Pregunta sobre la integrabilidad de Riemann: ¿es necesario especificar que todas las sumas de Riemann convergen al mismo número en la definición?

Question

Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función. Supongamos que existe una secuencia de particiones $\{P_n\}_{n=1}^\infty$ con malla tendente a $0$ , $P_n=\{a=t_0^n<t_1^n<\ldots<t_{r_n}^n=b\}$ tal que, para cualquier elección de puntos interiores $s_i^n\in [t_{i-1}^n,t_i^n]$ tenemos que $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{r_n} f(s_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)$ existe.

¿Es cierto que, en tal caso, el límite debe ser único? (En tal caso, sería $\int_a^b f(t)\,dt$ ).

Motivación: He leído la siguiente definición de integrabilidad de Riemann: existe un número $I$ y una secuencia de particiones $\{P_n\}_{n=1}^\infty$ con malla tendente a $0$ , $P_n=\{a=t_0^n<t_1^n<\ldots<t_{r_n}^n=b\}$ tal que, para cualquier elección de puntos interiores $s_i^n\in [t_{i-1}^n,t_i^n]$ tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{r_n} f(s_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)=I$ . Mi pregunta es si necesitamos imponer $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{r_n} f(s_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)$ sea siempre el mismo número $I$ o este hecho se da gratuitamente.

Answer 1

Supongamos que hay $s_i^n,q_i^n\in[t_{i-1}^n,t_i^n]$ tal que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{r_n}f(s_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)=s\neq q=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{r_n}f(q_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n).$$ Entonces considera $u_i^n\in[t_{i-1}^n,t_i^n]$ dada por $$u_i^n=\begin{cases} s_i^n,&n\text{ even},\\ q_i^n,&n\text{ odd}. \end{cases}$$ Por hipótesis, $\sum_{i=1}^{r_n}f(u_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)$ converge, pero también tiene dos subsecuencias convergentes con límites distintos, a saber $s$ y $q$ . Como no puede ser, los límites son independientes de la elección del $s_i^n$ .