Según tengo entendido, para plantear un problema para determinar si el vector abarca $ \mathbb{R}^n$ o si el vector dado está en el Span de $$(v_1,v_2,...,v_n)$$ se toma el vector y se establece una matriz aumentada que es igual al vector $w$ . (No estoy muy seguro del significado del vector $w$ en lo que respecta al vector $v$ ). Luego reducir fila. Después de eso estoy perdido. Estoy buscando una manera de simplificar este concepto y los pasos necesarios para llegar a él.
Respuesta
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Dado un subconjunto finito $V\subset\mathbb R^n$ , digamos $V=\{v_1,\ldots,v_m\}$ un vector $b$ está en el tramo de $V$ si existen escalares $c_1,\ldots,c_m$ tal que $$ b = c_1v_1 + \cdots + c_mv_m.$$ Esto equivale a saber si existe una solución para $Ax=b$ donde $A$ tiene columnas $v_1, \ldots, v_m$ . Obsérvese que las operaciones elementales de fila no modifican el espacio de columnas de una matriz, por lo que basta con calcular la forma escalonada de fila de la matriz aumentada $[A|b]$ . Entonces $Ax=b$ tiene solución si y sólo si no hay ninguna fila de la forma $$\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&|&b_j\end{bmatrix}$$ en la forma escalonada de $[A|b]$ .
