El problema consiste en definir todos los subgrupos de $(\mathbb Z_n,+), n \in \mathbb N$ . Mi conjetura es que si n es número primo, entonces sólo hay subgrupos triviales. Si n no es primo, entonces puedo factorizarlo, y cada divisor primo generará su propio subgrupo en $(\mathbb Z_n,+)$ . Esto significa que $(\mathbb Z_n,+) \cong (\mathbb Z_h,+) \times (\mathbb Z_k,+) \times \dots$ , $h,k \in \mathbb N$ son los factores primos de $n$ . El problema es que no sé cómo demostrarlo. Es bastante fácil demostrar que, por ejemplo, en $(\mathbb Z_6,+)$ $ [2]_6$ y $[3]_6$ generan sus propios subgrupos y $[1]_6$ generar todo $(\mathbb Z_6,+)$ , pero no sé cómo mostrar que $[5]_6$ hacer lo mismo, excepto mostrándolo todo: $[5]^2_6 = [4]_6$ etc.
Respuesta
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$\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ así que por el teorema de correspondencia sus subgrupos están en biyección con los subgrupos de $\mathbb{Z} $ , $r\mathbb{Z} $ tal que $n\mathbb{Z} \subseteq r\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ .
Pero $n\mathbb{Z} \subseteq r\mathbb{Z} \Longleftrightarrow r \mid n$ por lo que los subgrupos de $\mathbb{Z}_n $ son $$\lbrace r\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \ \ | \ \ \ r \mid n \rbrace$$
