Minimizar la suma con el producto conocido

Question

Uno de mis problemas de optimización es encontrar 2 números positivos tales que la suma sea mínima y el producto sea 182. Ahora bien, de entrada, dudo que la respuesta sean factores de números enteros de 182. De hecho, creo que las raíces cuadradas van a estar involucrados.

Así que allá voy:

$$P = xy = 182$$ $$S = x+y$$

Obtener P en términos de x

$$y = S-x$$ $$P = Sx-x^2 = 182$$

Resolver para S

$$S = \frac{182}{x}+x^2$$

Encontrar puntos críticos

$$S' = 2x-\frac{182}{x^2} = 0$$ $$x = \sqrt[3]{91}$$

Ahora, ¿cómo obtuve una raíz cúbica cuando el grado más alto era el segundo grado? Eso es impar. En todo caso yo hubiera esperado una raíz cuadrada. Bueno, de todos modos sé lo que x es y puedo enchufar que en la ecuación del producto resuelto para S y obtener

$$S = \frac{182}{\sqrt[3]{91}}+(\sqrt[3]{91})^2$$

Y puedo introducir esto en la ecuación para y y obtener

$$y= (\frac{182}{\sqrt[3]{91}}+(\sqrt[3]{91})^2) - \sqrt[3]{91}$$

Aparte de que probablemente no esté simplificado, ¿es correcto? ¿O cometí un error en alguna parte que hizo que hubiera raíces cúbicas cuando yo esperaba raíces cuadradas?

Answer 1

Cuando resolviste para $S$ escribiste

$$P=Sx-x^2=182 \implies S=\frac{182}{x}+x^2$$

Este paso es incorrecto. Debería ser

$$P=Sx-x^2=182 \implies S=\frac{182}{x}+\color{red}x$$

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Otro enfoque : Puede utilizar la desigualdad AM-GM para obtener;

$$\frac{{x+y}}{2} \ge \sqrt{xy} =\sqrt{182}$$

$$\implies x+y\ge 2\sqrt{182}$$

Answer 2

Esto plantea algunos problemas. Uno que cometió un error de cálculo en la solución de S. Usted tiene $Sx -x^2 = 182$ así que si resuelves para S, lo que deberías tener es $S = \frac{182}{x} +x$ . En segundo lugar has complicado las cosas de todos modos. Si $182 = xy$ entonces $y = \frac{182}{x}$ y tienes $S = x + \frac{182}{x}$ lo que agiliza la resolución de S.